3D domain parameterization method based on high-dimensional quasi-conformal mapping

doi:10.11772/j.issn.1001-9081.2024060850

Journal of Computer Applications ›› 2025, Vol. 45 ›› Issue (6): 1963-1970.DOI: 10.11772/j.issn.1001-9081.2024060850

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3D domain parameterization method based on high-dimensional quasi-conformal mapping

Yuanyuan SONG, Maodong PAN()

School of Mathematics，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing Jiangsu 211106，China

Received:2024-06-24 Revised:2024-09-11 Accepted:2024-09-14 Online:2024-09-25 Published:2025-06-10
Contact: Maodong PAN
About author:SONG Yuanyuan， born in 2001， M. S. candidate. Her research interests include computational geometry and computer graphics.
PAN Maodong， born in 1990， Ph. D.， associate professor. His research interests include computational geometry and computer graphics， integrated CAD/CAE， mesh generation.
Supported by:
National Natural Science Foundation of China(12101308);National Key Research and Development Program of China for Young Scientists(2022YFB3302900)

基于高维拟共形映射的三维区域参数化方法

宋媛媛, 潘茂东()

南京航空航天大学数学学院，南京 211106

通讯作者: 潘茂东
作者简介:宋媛媛（2001—），女，江苏淮安人，硕士研究生，CCF会员，主要研究方向：计算几何与计算机图形学
潘茂东（1990—），男，江苏东台人，副教授，博士，主要研究方向：计算几何与计算机图形学、CAD/CAE一体化、网格生成。maodong@nuaa.edu.cn
基金资助:
国家自然科学基金资助项目(12101308);国家重点研发计划青年科学家项目(2022YFB3302900)

Abstract

Abstract:

Aiming at the high-quality parameterization problem of constructing a complex Three-Dimensional （3D） computational domain with given boundary conditions in isogeometric analysis， a 3D domain parameterization method based on high-dimensional quasi-conformal mapping was proposed. The core of the proposed method is to establish a nonlinear optimization model that describe the bijectivity， angular distortion， and volume distortion of the mapping simultaneously. Firstly， the high-dimensional quasi-conformal mapping theory was used to derive a new formula for measuring angular distortion in 3D space. Then， exponential variable and volume constant were introduced into the optimization model， and geometrical meaning of the Jacobi matrix was exploited to achieve the goal of adding volume distortion while preserving mapping bijectivity. Finally， Alternating Direction Method of Multipliers （ADMM） framework was combined with L-BFGS （Limited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno） method to decompose the original problem into tractable subproblems and they were solved alternatively. Experimental results show that the proposed method guarantees global bijectivity on the experimental model； the proposed method has the orthogonality increased by about 5.8% compared to ADMM-LRP （ADMM algorithm for Low-Rank Parameterization）， and has the volume uniformity improved by about 34.4% compared to TTS （Tet-To-Spline optimization strategy）. It can be seen that the proposed method achieves high-quality parameterization， ensures bijectivity of mapping， and reduces angular distortion as well as and volume distortion.

Key words: isogeometric analysis, volumetric parameterization, high-dimensional quasi-conformal mapping, bijectivity, angular distortion, volume distortion

摘要：

针对等几何分析中给定边界条件后构造复杂三维（3D）计算域的高质量参数化问题，提出一种基于高维拟共形映射理论的3D区域参数化方法。该方法的核心是建立一个非线性优化模型，同时描述映射的双射性、角度扭曲和体积扭曲。首先，利用高维拟共形映射理论推导出新的衡量3D空间角度扭曲的公式；其次，在优化模型中引入指数变量和体积常数，利用雅各比矩阵的几何意义，实现在保持映射双射性的同时加入体积扭曲的目标；最后，结合交替方向乘子法（ADMM）框架与L-BFGS （Limited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）方法，将原问题分解为易于处理的子问题并交替求解它们。实验结果表明，所提方法在实验模型上保证了全局双射性；相较于ADMM-LRP （ADMM algorithm for Low-Rank Parameterization），所提方法在正交性上提高了约5.8%；相较于TTS （Tet-To-Spline optimization strategy），所提方法在体积一致性上提高了约34.4%。可见，所提方法能获得高质量的参数化，确保双射性，并减小角度扭曲和体积扭曲。

关键词: 等几何分析, 体参数化, 高维拟共形映射, 双射性, 角度扭曲, 体积扭曲

CLC Number:

TP391.41

Yuanyuan SONG, Maodong PAN. 3D domain parameterization method based on high-dimensional quasi-conformal mapping[J]. Journal of Computer Applications, 2025, 45(6): 1963-1970.

宋媛媛, 潘茂东. 基于高维拟共形映射的三维区域参数化方法[J]. 《计算机应用》唯一官方网站, 2025, 45(6): 1963-1970.

Figures/Tables 11

Fig.1 Mapping?G:Ω^?:=?[0,1]3?→?Ω???R3

Fig. 2 Quasi-conformal mapping’s geometrical meanings in 2D and 3D space

Fig. 3 Five computational domain models with given boundary surface conditions

Tab.1 Values of parameter α1 and α2 for different models

模型	$α 1$	$α 2$
普朗克	0.85	1.00
鸭子	0.85	1.00
考拉	0.90	0.95
海豚	1.00	0.95
雕像	1.00	0.90

Tab.1 Values of parameter α1 and α2 for different models

模型	$α 1$	$α 2$
普朗克	0.85	1.00
鸭子	0.85	1.00
考拉	0.90	0.95
海豚	1.00	0.95
雕像	1.00	0.90

Fig. 4 Parameterization results of different computational domain models （some mesh sections）

Tab.2 Bijectivity and volume uniformity of different models

模型	方法	是否双射	体积一致性 $V u n i f$ （最佳情况下 $V u n i f = 0$ ）
模型	方法	是否双射	max	min	avg	方差
普朗克	本文方法	是	1.675 6	0.034 6	0.969 6	0.169 8
	$d e t J = e θ$	是	4.147 2	0.867 4	0.991 7	0.762 5
	$d e t J = c$	是	1.243 6	0.804 3	0.985 8	0.201 0
鸭子	本文方法	是	2.711 3	0.000 7	0.276 4	0.313 1
	$d e t J = e θ$	是	6.355 1	0.026 0	0.301 5	0.447 2
	$d e t J = c$	否
考拉	本文方法	是	0.923 3	0.001 4	0.211 8	0.082 3
	$d e t J = e θ$	是	0.990 2	0.016 9	0.401 6	0.107 3
	$d e t J = c$	否
海豚	本文方法	是	0.997 9	0.002 4	0.306 5	0.171 3
	$d e t J = e θ$	是	1.003 5	0.018 6	0.312 8	0.210 9
	$d e t J = c$	是	0.772 1	0.014 8	0.327 0	0.092 0
雕像	本文方法	是	0.999 1	0.000 7	0.200 9	0.122 8
	$d e t J = e θ$	是	2.444 5	0.010 3	0.145 6	0.273 1
	$d e t J = c$	否

Tab.2 Bijectivity and volume uniformity of different models

模型	方法	是否双射	体积一致性 $V u n i f$ （最佳情况下 $V u n i f = 0$ ）
模型	方法	是否双射	max	min	avg	方差
普朗克	本文方法	是	1.675 6	0.034 6	0.969 6	0.169 8
	$d e t J = e θ$	是	4.147 2	0.867 4	0.991 7	0.762 5
	$d e t J = c$	是	1.243 6	0.804 3	0.985 8	0.201 0
鸭子	本文方法	是	2.711 3	0.000 7	0.276 4	0.313 1
	$d e t J = e θ$	是	6.355 1	0.026 0	0.301 5	0.447 2
	$d e t J = c$	否
考拉	本文方法	是	0.923 3	0.001 4	0.211 8	0.082 3
	$d e t J = e θ$	是	0.990 2	0.016 9	0.401 6	0.107 3
	$d e t J = c$	否
海豚	本文方法	是	0.997 9	0.002 4	0.306 5	0.171 3
	$d e t J = e θ$	是	1.003 5	0.018 6	0.312 8	0.210 9
	$d e t J = c$	是	0.772 1	0.014 8	0.327 0	0.092 0
雕像	本文方法	是	0.999 1	0.000 7	0.200 9	0.122 8
	$d e t J = e θ$	是	2.444 5	0.010 3	0.145 6	0.273 1
	$d e t J = c$	否

Tab.3 Bijectivity and orthogonality of different models

模型	方法	是否双射	正交性 $G o r t h$ （最佳情况下 $G o r t h = 1$ ）
模型	方法	是否双射	max	min	avg
普朗克	本文方法	是	0.992 6	0.001 7	0.669 7
	调和映射	否	0.986 9	0.000 0	0.666 8
	ADMM-LRP	是	0.986 3	0.072 1	0.655 3
鸭子	本文方法	是	0.977 7	0.010 6	0.551 6
	调和映射	否	0.988 9	0.000 3	0.540 1
	ADMM-LRP	是	0.973 4	0.006 0	0.498 6
考拉	本文方法	是	0.989 2	0.008 8	0.422 1
	调和映射	否	0.970 3	0.000 2	0.421 8
	TTS	是	0.980 8	0.006 5	0.393 9
海豚	本文方法	是	0.578 7	0.001 3	0.055 3
	调和映射	否	0.415 3	0.000 0	0.059 6
	TTS	是	0.397 2	0.001 2	0.052 3
雕像	本文方法	是	0.856 0	0.004 3	0.162 9
	调和映射	否	0.954 5	0.000 1	0.353 3
	TTS	是	0.913 8	0.009 3	0.185 8

Tab.3 Bijectivity and orthogonality of different models

模型	方法	是否双射	正交性 $G o r t h$ （最佳情况下 $G o r t h = 1$ ）
模型	方法	是否双射	max	min	avg
普朗克	本文方法	是	0.992 6	0.001 7	0.669 7
	调和映射	否	0.986 9	0.000 0	0.666 8
	ADMM-LRP	是	0.986 3	0.072 1	0.655 3
鸭子	本文方法	是	0.977 7	0.010 6	0.551 6
	调和映射	否	0.988 9	0.000 3	0.540 1
	ADMM-LRP	是	0.973 4	0.006 0	0.498 6
考拉	本文方法	是	0.989 2	0.008 8	0.422 1
	调和映射	否	0.970 3	0.000 2	0.421 8
	TTS	是	0.980 8	0.006 5	0.393 9
海豚	本文方法	是	0.578 7	0.001 3	0.055 3
	调和映射	否	0.415 3	0.000 0	0.059 6
	TTS	是	0.397 2	0.001 2	0.052 3
雕像	本文方法	是	0.856 0	0.004 3	0.162 9
	调和映射	否	0.954 5	0.000 1	0.353 3
	TTS	是	0.913 8	0.009 3	0.185 8

Fig. 5 Comparison of ADMM-LRP and proposed method on Gorth heatmap and Vunif bar distribution chart

Tab.4 Volume uniformity of different models

模型	方法	体积一致性 $V u n i f$ （最佳情况下 $V u n i f = 0$ ）
模型	方法	max	min	avg	方差
普朗克	本文方法	1.675 6	0.034 6	0.969 6	0.169 8
	调和映射	2.329 1	0.018 5	0.972 9	0.218 8
	ADMM-LRP	4.719 7	0.047 8	1.000 2	0.174 0
鸭子	本文方法	2.711 3	0.000 7	0.276 4	0.313 1
	调和映射	12.625 4	0.003 4	0.509 3	0.589 5
	ADMM-LRP	19.491 5	0.003 2	0.555 1	0.738 9
考拉	本文方法	0.923 3	0.001 4	0.211 8	0.082 3
	调和映射	14.342 0	0.004 9	0.515 2	0.653 9
	TTS	8.806 1	0.002 2	0.376 5	0.384 5
海豚	本文方法	0.997 9	0.002 4	0.306 5	0.171 3
	调和映射	1.643 6	0.003 9	0.470 2	0.314 1
	TTS	1.330 2	0.004 1	0.336 2	0.177 0
雕像	本文方法	0.999 1	0.000 7	0.200 9	0.122 8
	调和映射	5.872 0	0.056 5	2.335 7	0.692 2
	TTS	6.264 3	0.006 0	0.383 1	0.296 1

Tab.4 Volume uniformity of different models

模型	方法	体积一致性 $V u n i f$ （最佳情况下 $V u n i f = 0$ ）
模型	方法	max	min	avg	方差
普朗克	本文方法	1.675 6	0.034 6	0.969 6	0.169 8
	调和映射	2.329 1	0.018 5	0.972 9	0.218 8
	ADMM-LRP	4.719 7	0.047 8	1.000 2	0.174 0
鸭子	本文方法	2.711 3	0.000 7	0.276 4	0.313 1
	调和映射	12.625 4	0.003 4	0.509 3	0.589 5
	ADMM-LRP	19.491 5	0.003 2	0.555 1	0.738 9
考拉	本文方法	0.923 3	0.001 4	0.211 8	0.082 3
	调和映射	14.342 0	0.004 9	0.515 2	0.653 9
	TTS	8.806 1	0.002 2	0.376 5	0.384 5
海豚	本文方法	0.997 9	0.002 4	0.306 5	0.171 3
	调和映射	1.643 6	0.003 9	0.470 2	0.314 1
	TTS	1.330 2	0.004 1	0.336 2	0.177 0
雕像	本文方法	0.999 1	0.000 7	0.200 9	0.122 8
	调和映射	5.872 0	0.056 5	2.335 7	0.692 2
	TTS	6.264 3	0.006 0	0.383 1	0.296 1

Fig. 6 Comparison of TTS and proposed method on Gorth heatmap and Vunif bar distribution chart

Tab.5 Comparison of iterations and computation time

模型	本文方法迭代次数	计算时间/min
模型	本文方法迭代次数	本文方法	调和映射	ADMM-LRP	TTS
普朗克	100	36.48	0.06	21.76	32.95
鸭子	46	5.72	0.03	6.62	21.90
考拉	68	20.39	0.09	33.05	23.44
海豚	100	43.53	0.12	29.83	40.52
雕像	83	32.41	0.09	45.25	26.30

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3D domain parameterization method based on high-dimensional quasi-conformal mapping

基于高维拟共形映射的三维区域参数化方法

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Figures/Tables 11

References 25

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