基于时变Copula函数的多部件系统可靠性评估

doi:10.11772/j.issn.1001-9081.2023040459

《计算机应用》唯一官方网站 ›› 2024, Vol. 44 ›› Issue (3): 953-959.DOI: 10.11772/j.issn.1001-9081.2023040459

基于时变Copula函数的多部件系统可靠性评估

王蕾, 程世娟(), 韩雨

西南交通大学数学学院，成都 611756

收稿日期:2023-04-21 修回日期:2023-08-14 接受日期:2023-08-18 发布日期:2024-03-12 出版日期:2024-03-10
通讯作者: 程世娟
作者简介:王蕾（1998—），女，山东潍坊人，硕士研究生，主要研究方向：可靠性理论与工程、信息融合
韩雨（1998—），男，河南济源人，硕士研究生，主要研究方向：可靠性理论与工程、信息融合。
基金资助:
教育部人文社会科学研究规划基金资助项目(20XJAZH009)

Reliability evaluation of multi-component system based on time-varying Copula function

Lei WANG, Shijuan CHENG(), Yu HAN

College of Mathematics，Southwest Jiaotong University，Chengdu Sichuan 611756，China

Received:2023-04-21 Revised:2023-08-14 Accepted:2023-08-18 Online:2024-03-12 Published:2024-03-10
Contact: Shijuan CHENG
About author:WANG Lei， born in 1998， M. S. candidate. Her research interests include reliability theory and engineering， information fusion.
HAN Yu， born in 1998， M. S. candidate. His research interests include reliability theory and engineering， information fusion.
Supported by:
Humanities and Social Science Research Fundation of Ministry of Education(20XJAZH009)

摘要/Abstract

摘要：

针对多部件失效相关的机械系统，提出一种基于时变Copula函数的多部件系统可靠性评估方法。首先，引入非线性Wiener过程刻画性能退化过程，并采用Copula函数刻画多部件失效间的相关性；其次，基于傅里叶级数近似Copula函数的演化方程，并通过蒙特卡洛（MC）模拟验证傅里叶级数对常见时变形式的拟合效果；此外，采用似然比统计量检验时变相关性的存在性，指明时变相关性研究的必要性。算例分析结果表明，与静态相关性模型相比，时变相关性模型对数似然函数值提高4.36%、赤池信息量准则（AIC）减小3.81%，可靠性评估结果更加准确。

关键词: Wiener过程, 时变Copula函数, 傅里叶级数, 似然比检验, 可靠性评估

Abstract:

Aiming at the mechanical system related to multi-component failure， a reliability evaluation method of multi-component system based on time-varying Copula function was proposed. Firstly， the nonlinear Wiener process was introduced to characterize the performance degradation process， and the Copula function was used to characterize the correlation between multiple component failures. Secondly， based on the evolutionary equation of the Copula function approximation of the Fourier series， the fitting effects of the Fourier series on common time-varying forms were verified by Monte Carlo （MC） simulation. In addition， the likelihood ratio statistic was used to test the existence of time-varying correlation， indicating the necessity of time-varying correlation research. The example analysis shows that compared with the static correlation model， the time-varying correlation model has the log-likelihood function value increased by 4.36%， and the Akaike Information Criterion （AIC） decreased by 3.81%， achieving more accurate reliability evaluation results.

Key words: Wiener process, time-varying Copula function, Fourier series, likelihood ratio test, reliability evaluation

中图分类号:

TB114.3

王蕾, 程世娟, 韩雨. 基于时变Copula函数的多部件系统可靠性评估[J]. 计算机应用, 2024, 44(3): 953-959.

Lei WANG, Shijuan CHENG, Yu HAN. Reliability evaluation of multi-component system based on time-varying Copula function[J]. Journal of Computer Applications, 2024, 44(3): 953-959.

图/表 12

图1 多部件系统可靠性评估流程

Fig. 1 Reliability evaluation flow of multi-component system

表1 常见的Copula函数的参数取值范围及变换函数

Tab. 1 Parameter value ranges and transformation functions of common Copula functions

Copula函数	参数取值范围	变换函数 $Λ ˜ ρ t$
Frank	$- ∞, + ∞ \ 0$	$ρ t ρ t ≠ 0$
Plackett	$0, + ∞$	$ρ t 2$
Clayton
Rotated Clayton
Gumbel	$1, + ∞$	$1 + ρ t 2$
Rotated Gumbel	$1, + ∞$	$1 + ρ t 2$
SJC	$0,1$	$1 / 1 + e - ρ t$

表1 常见的Copula函数的参数取值范围及变换函数

Tab. 1 Parameter value ranges and transformation functions of common Copula functions

Copula函数	参数取值范围	变换函数 $Λ ˜ ρ t$
Frank	$- ∞, + ∞ \ 0$	$ρ t ρ t ≠ 0$
Plackett	$0, + ∞$	$ρ t 2$
Clayton
Rotated Clayton
Gumbel	$1, + ∞$	$1 + ρ t 2$
Rotated Gumbel	$1, + ∞$	$1 + ρ t 2$
SJC	$0,1$	$1 / 1 + e - ρ t$

表2 蒙特卡洛模拟结果分析

Tab. 2 Analysis of Monte Carlo simulation results

时变类型	时变模式	数据生成形式	模拟参数设定	拟合优度
随机时变模型	AR模型	$ρ t = ϕ 1 ρ t - 1 + ε t$	$ϕ 1 = 0.9, ε t ~ N (0,1)$	0.843 8
连续时变模型	多项式函数	$ρ t = β 0 + β 1 t + β 2 t 2 + β 3 t 3$	$β 0 = β 1 = β 2 = β 3 = 1$	0.998 0
跳跃时变模型	符号函数	$ρ t = s g n (t + t 0)$	$t 0 = - 5$	0.864 5

表2 蒙特卡洛模拟结果分析

Tab. 2 Analysis of Monte Carlo simulation results

时变类型	时变模式	数据生成形式	模拟参数设定	拟合优度
随机时变模型	AR模型	$ρ t = ϕ 1 ρ t - 1 + ε t$	$ϕ 1 = 0.9, ε t ~ N (0,1)$	0.843 8
连续时变模型	多项式函数	$ρ t = β 0 + β 1 t + β 2 t 2 + β 3 t 3$	$β 0 = β 1 = β 2 = β 3 = 1$	0.998 0
跳跃时变模型	符号函数	$ρ t = s g n (t + t 0)$	$t 0 = - 5$	0.864 5

图2 傅里叶级数近似AR模型、多项式函数和符号函数的拟合效果

Fig. 2 Fitting effects of Fourier series approximating AR model， polynomial function and sign function

图3 静态Copula函数参数估计步骤

Fig. 3 Parameter estimation steps for static Copula function

图4 时变Copula函数形式选择及参数估计步骤

Fig. 4 Form selection and parameter estimation steps for time-varying Copula function

表3 终端1和终端2裂纹退化数据

Tab. 3 Crack degradation data for terminal 1 and terminal 2

终端	设备
终端	设备	10⁴	2×10⁴	3×10⁴	4×10⁴	5×10⁴	6×10⁴	7×10⁴	8×10⁴	9×10⁴
终端1	1	0.014	0.018	0.016	0.021	0.089	0.090	0.020	0.060	0.014
	2	0.031	0.017	0.075	0.011	0.024	0.025	0.080	0.010	0.043
	3	0.011	0.069	0.070	0.030	0.010	0.010	0.010	0.012	0.073
	4	0.030	0.020	0.080	0.030	0.050	0.060	0.090	0.020	0.055
	5	0.010	0.012	0.080	0.031	0.050	0.050	0.010	0.035	0.015
	6	0.011	0.050	0.090	0.026	0.084	0.085	0.022	0.036	0.016
	7	0.017	0.012	0.070	0.010	0.015	0.016	0.010	0.099	0.030
	8	0.026	0.016	0.010	0.010	0.012	0.010	0.010	0.021	0.016
	9	0.030	0.080	0.051	0.072	0.090	0.090	0.030	0.080	0.033
	10	0.080	0.012	0.016	0.032	0.010	0.010	0.020	0.013	0.034
终端2	1	0.010	0.020	0.025	0.052	0.058	0.018	0.017	0.060	0.042
	2	0.090	0.071	0.011	0.075	0.012	0.022	0.090	0.030	0.028
	3	0.010	0.050	0.021	0.037	0.024	0.016	0.011	0.063	0.030
	4	0.016	0.060	0.011	0.017	0.023	0.071	0.010	0.010	0.040
	5	0.036	0.060	0.080	0.028	0.038	0.039	0.044	0.090	0.080
	6	0.014	0.088	0.010	0.082	0.083	0.012	0.016	0.030	0.056
	7	0.037	0.027	0.014	0.018	0.028	0.040	0.070	0.020	0.072
	8	0.035	0.051	0.019	0.069	0.093	0.010	0.070	0.014	0.023
	9	0.067	0.081	0.013	0.012	0.011	0.034	0.011	0.010	0.046
	10	0.025	0.027	0.012	0.012	0.075	0.036	0.018	0.017	0.040

表4 终端1和终端2裂纹退化参数估计结果

Tab. 4 Estimation results of crack degradation parameters for terminal 1 and terminal 2

终端	参数	均值	标准差	MC误差/10^-3	95%HPD区间
终端1	$μ 1$	0.405 4	0.025 7	0.405 2	（0.356 7，0.458 1）
	$σ 12$	0.012 1	0.002 2	0.041 8	（0.008 5，0.017 1）
	$c 1$	1.216 0	0.093 3	1.874 0	（1.032 0，1.407 0）
终端2	$μ 2$	0.373 4	0.018 8	0.565 2	（0.337 5，0.411 5）
	$σ 22$	0.007 0	0.001 2	0.035 1	（0.005 2，0.009 8）
	$c 2$	0.989 9	0.068 3	2.391 0	（0.858 5，1.127 0）

表4 终端1和终端2裂纹退化参数估计结果

Tab. 4 Estimation results of crack degradation parameters for terminal 1 and terminal 2

终端	参数	均值	标准差	MC误差/10^-3	95%HPD区间
终端1	$μ 1$	0.405 4	0.025 7	0.405 2	（0.356 7，0.458 1）
	$σ 12$	0.012 1	0.002 2	0.041 8	（0.008 5，0.017 1）
	$c 1$	1.216 0	0.093 3	1.874 0	（1.032 0，1.407 0）
终端2	$μ 2$	0.373 4	0.018 8	0.565 2	（0.337 5，0.411 5）
	$σ 22$	0.007 0	0.001 2	0.035 1	（0.005 2，0.009 8）
	$c 2$	0.989 9	0.068 3	2.391 0	（0.858 5，1.127 0）

表5 静态Copula函数参数估计及拟合优度比较

Tab. 5 Comparison of parameter estimation and fitting goodness for static Copula function

Copula函数	估计值	AIC	排序
Clayton	0.55	2 518.597	3
Frank	8.91	3 343.365	6
Gumbel	1.66	2 924.685	4
SJC	（0.14，0.18）	2 222.162	1
Plackett	39.12	3 188.068	5
Rotated Clayton	0.37	3 409.889	7
Rotated Gumbel	1.59	2 313.342	2

表6 静态、时变Copula函数参数估计及拟合优度结果

Tab. 6 Parameter estimation and fitting goodness for static and time-varying Copula function

模型	参数	估计值	对数似然函数	AIC
SJC	$τ U, τ L$	（0.14，0.18）	-1 109.081	2 222.162
Time-varying SJC（傅里叶）	$γ U, a U, b U, k U$	（-1.73，0.23，0.06，0.47）	-1 060.716	2 137.432
Time-varying SJC（傅里叶）	$γ L, a L, b L, k L$	（-1.3，-0.02，-0.72，0.06）	-1 060.716	2 137.432
文献［4］模型	$ω U, α U, β U$	（-1.333，-0.016，0.03）	-1 107.744	2 227.488
文献［4］模型	$ω L, α L, β L$	（-1.331，0.022，0.364）	-1 107.744	2 227.488

表6 静态、时变Copula函数参数估计及拟合优度结果

Tab. 6 Parameter estimation and fitting goodness for static and time-varying Copula function

模型	参数	估计值	对数似然函数	AIC
SJC	$τ U, τ L$	（0.14，0.18）	-1 109.081	2 222.162
Time-varying SJC（傅里叶）	$γ U, a U, b U, k U$	（-1.73，0.23，0.06，0.47）	-1 060.716	2 137.432
Time-varying SJC（傅里叶）	$γ L, a L, b L, k L$	（-1.3，-0.02，-0.72，0.06）	-1 060.716	2 137.432
文献［4］模型	$ω U, α U, β U$	（-1.333，-0.016，0.03）	-1 107.744	2 227.488
文献［4］模型	$ω L, α L, β L$	（-1.331，0.022，0.364）	-1 107.744	2 227.488

图5 单部件系统可靠度曲线

Fig. 5 Single-component system reliability curves

图6 多部件系统可靠度曲线

Fig. 6 Multi-component system reliability curves

参考文献 16

1	LIN J， LIN Z， LIAO G， et al. A novel product remaining useful life prediction approach considering fault effects ［J］. IEEE/CAA Journal of Automatica Sinica， 2021， 8（11）： 1762-1773. 10.1109/jas.2021.1004168
2	SHI Y， FENG Q， SHU Y， et al. Multi-dimensional Lévy processes with Lévy Copulas for multiple dependent degradation processes in lifetime analysis ［J］. Quality Engineering， 2020， 32（3）： 434-448. 10.1080/08982112.2020.1757704
3	LIU Y， CHEN Y. Dynamic reliability evaluation of high-speed train gearbox based on Copula function ［J］. IEEE Access， 2022， 10： 51792-51803. 10.1109/access.2022.3174043
4	PATTON A J. Modelling asymmetric exchange rate dependence［J］. International Economic Review， 2006， 47（2）： 527-556. 10.1111/j.1468-2354.2006.00387.x
5	PAN J， BAI G， CHEN W. Lifetime estimation of nitrile butadiene rubber O-rings under storage conditions using time-varying Copula［J］. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part O： Journal of Risk and Reliability， 2018， 232（6）： 635-646. 10.1177/1748006x18757073
6	ZHANG C， CHEN R， BAI G， et al. Reliability estimation of rotary lip seal in aircraft utility system based on time-varying dependence degradation model and its experimental validation ［J］. Chinese Journal of Aeronautics， 2020， 33（8）： 2230-2241. 10.1016/j.cja.2019.08.018
7	王浩伟，滕克难，李军亮.随机环境应力冲击下基于多参数相关退化的导弹部件寿命预测［J］.航空学报，2016，37（11）：3404-3412.
	WANG H W， TENG K N， LI J L. Life prediction for missile components based on multiple parameters correlative degrading with random shocks of environmental stresses ［J］. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 2016， 37（11）： 3404-3412.
8	盖炳良，张晓瑜.基于随机过程的可靠性建模［J］.海军航空大学学报，2022，37（2）：209-216. 10.7682/j.issn.2097-1427.2022.02.008
	GAI B L， ZHANG X Y. Reliability modeling based on stochastic process ［J］. Journal of Naval Aviation University， 2022， 37（2）： 209-216. 10.7682/j.issn.2097-1427.2022.02.008
9	PAN G， LI Y， LI X， et al. A reliability evaluation method for multi-performance degradation products based on the Wiener process and Copula function ［J］. Microelectronics Reliability， 2020， 114（8）： 113758. 10.1016/j.microrel.2020.113758
10	SUN F， GUO H， WANG N， et al. Remaining useful life prediction for bivariate deteriorating systems under dynamic operational conditions ［J］. Quality and Reliability Engineering International， 2022， 38（4）： 1729-1749. 10.1002/qre.3023
11	BECKER R， ENDERS W， LEE J. A stationarity test in the presence of an unknown number of smooth breaks ［J］. Journal of Time Series Analysis， 2006， 27（3）： 381-409. 10.1111/j.1467-9892.2006.00478.x
12	杨利雄，李庆男.基于傅里叶变换的时变参数回归模型：估计、设定检验和实证应用［J］.统计与信息论坛，2018，33（2）：10-16. 10.3969/j.issn.1007-3116.2018.02.002
	YANG L X， LI Q N.A time-varying parameter regression model based on Fourier transform： estimation， specificaiton and application ［J］. Statistics & Information Forum， 2018，33 （2）： 10-16. 10.3969/j.issn.1007-3116.2018.02.002
13	BANERJEE P， ARČABIĆ V， LEE H. Fourier ADL cointegration test to approximate smooth breaks with new evidence from Crude Oil Market ［J］. Economic Modelling， 2017， 67： 114-124. 10.1016/j.econmod.2016.11.004
14	YANG L， LEE C， CHEN I-P. Threshold model with a time-varying threshold based on Fourier approximation ［J］. Journal of Time Series Analysis， 2021， 42（4）： 406-430. 10.1111/jtsa.12574
15	DAI Y， CHENG S， GAN Q-J， et al. Life prediction of Ni-Cd battery based on linear Wiener process ［J］. Journal of Central South University， 2021， 28： 2919-2930. 10.1007/s11771-021-4816-5
16	RODRÍGUEZ-PICÓN L A， RODRÍGUEZ-PICÓN A P， ALVARADO-INIESTA A. Degradation modeling of 2 fatigue-crack growth characteristics based on inverse Gaussian processes： a case study［J］. Applied Stochastic Models in Business and Industry， 2019， 35（3）： 504-521. 10.1002/asmb.2329

[1]	王思蕊, 程世娟, 袁非梦. 基于改进证据融合的高可靠产品可靠性评估方法[J]. 《计算机应用》唯一官方网站, 2023, 43(7): 2140-2146.
[2]	李权鄢萍贺晓辉. 高可靠性的嵌入式软件现场更新方法[J]. 计算机应用, 2010, 30(8): 2228-2231.

基于时变Copula函数的多部件系统可靠性评估

Reliability evaluation of multi-component system based on time-varying Copula function

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