融入决策代价约束的智能推荐模型及拉格朗日求解算法

doi:10.11772/j.issn.1001-9081.2025060736

《计算机应用》唯一官方网站 ›› 2026, Vol. 46 ›› Issue (6): 1904-1912.DOI: 10.11772/j.issn.1001-9081.2025060736

融入决策代价约束的智能推荐模型及拉格朗日求解算法

叶锦鹏¹, 刘久兵²(), 陈子星¹, 刘佳欣³, 刘盾⁴, 徐标⁵

^1.汕头大学数学与计算机学院，广东汕头 515821
^2.汕头大学商学院，广东汕头 515821
^3.上海大学管理学院，上海 200444
^4.西南交通大学经济管理学院，成都 610031
^5.汕头大学工学院，广东汕头 515063

收稿日期:2025-06-07 修回日期:2025-10-10 接受日期:2025-10-11 发布日期:2025-10-30 出版日期:2026-06-10
通讯作者: 刘久兵
作者简介:叶锦鹏（2003—），男，广东江门人，主要研究方向：智能推荐
陈子星（2004—），男，广东中山人，主要研究方向：智能推荐
刘佳欣（2002—），女，山东聊城人，硕士研究生，主要研究方向：战略管理
刘盾（1983—），男，重庆人，教授，博士，CCF会员，主要研究方向：粒计算与知识发现、三支决策
徐标（1981—），男，安徽淮北人，讲师，博士，主要研究方向：智能优化、动态多目标优化。
第一联系人：刘久兵（1988—），男，江西瑞金人，副教授，博士，CCF高级会员，主要研究方向：三支决策与优化、智能推荐、大数据分析
基金资助:
国家自然科学基金资助项目(62106135);国家级大学生创新创业训练项目(202510560033);广东省自然科学基金面上项目(2026A1515011908);广东省自然科学基金面上项目(2025A1515010167);汕头市人文社科研究项目(SK25008)

Intelligent recommendation model incorporating decision cost constraints and Lagrangian solution algorithm

Jinpeng YE¹, Jiubing LIU²(), Zixing CHEN¹, Jiaxin LIU³, Dun LIU⁴, Biao XU⁵

^1.College of Mathematics and Computer Science，Shantou University，Shantou Guangdong 515821，China
^2.School of Business，Shantou University，Shantou Guangdong 515821，China
^3.School of Management，Shanghai University，Shanghai 200444，China
^4.School of Economics and Management，Southwest Jiaotong University，Chengdu Sichuan 610031，China
^5.College of Engineering，Shantou University，Shantou Guangdong 515063，China

Received:2025-06-07 Revised:2025-10-10 Accepted:2025-10-11 Online:2025-10-30 Published:2026-06-10
Contact: Jiubing LIU
About author:YE Jinpeng， born in 2003. His research interests include intelligent recommendation.
CHEN Zixing， born in 2004. His research interests include intelligent recommendation.
LIU Jiaxin， born in 2002， M. S. candidate. Her research interests include strategic management.
LIU Dun， born in 1983， Ph. D.， professor. His research interests include granular computing and knowledge discovery， three-way decisions.
XU Biao， born in 1981， Ph. D.， lecturer. His research interests include intelligent optimization， dynamic multi-objective optimization.
First author contact:LIU Jiubing， born in 1988， Ph. D.， associate professor. His research interests include three-way decisions and optimization， intelligent recommendation， big data analysis.
Supported by:
National Natural Science Foundation of China(62106135);National Undergraduate Training Program on Innovation and Entrepreneurship(202510560033);General Program of Natural Science Foundation of Guangdong Province(2026A1515011908);Shantou Humanities and Social Sciences Research Project(SK25008)

摘要/Abstract

摘要：

针对现有智能推荐未考虑决策代价约束的问题，提出一种融入决策代价约束的智能推荐模型及拉格朗日求解算法。首先，基于用户-项目评分矩阵，采用SVD++（Singular Value Decomposition Plus Plus）模型预测用户对项目的未知评分；其次，依据预测评分，构建在决策代价与分布多样性约束下的智能推荐单目标优化模型；再次，将分布多样性约束松弛至目标函数中，以建立决策代价约束下的拉格朗日松弛模型；最后，设计基于贪心策略的对偶次梯度算法，以实现所构建拉格朗日松弛模型的高效求解。在MovieLens数据集上的实验结果表明：与Gurobi求解器相比，所提算法在目标函数值仅降低不超过0.694%的情况下，求解耗时显著降低了至少90.317%；与LightGCN（Light Graph Convolution Network）方法相比，所建模型在全部测试样例上推荐准确性均获提升，分布多样性在77.8%的样例上得以改善。以上充分验证了所提模型与求解算法在效率与性能方面的综合优势。

Abstract:

To address the problem that the existing intelligent recommendation do not consider decision cost constraints， an intelligent recommendation model incorporating decision cost constraints and a Lagrangian solution algorithm were proposed. Firstly， based on the user-item rating matrix， the SVD++ （Singular Value Decomposition Plus Plus） model was adopted to predict unknown ratings of users on items. Secondly， according to the predicted ratings， a single-objective optimization model of intelligent recommendation under decision cost and distribution diversity constraints was constructed. Thirdly， the distribution diversity constraint was relaxed into the objective function， and a Lagrangian relaxation model under decision cost constraint was established. Finally， a dual sub-gradient algorithm based on greedy strategy was designed to solve the constructed Lagrangian relaxation model efficiently. Experimental results on the MovieLens dataset show that compared with the Gurobi solver， the proposed algorithm reduces the solution time by at least 90.317% significantly， with the objective function value decreased by no more than 0.694%； compared with the LightGCN （Light Graph Convolution Network） method， the constructed model achieves higher recommendation accuracy on all test cases， and improves the distribution diversity on 77.8% of cases. The above fully verifies the comprehensive advantages of the proposed model and solution algorithm in terms of efficiency and performance.

Key words: intelligent recommendation system, recommendation accuracy, distribution diversity, decision cost, Lagrangian relaxation

中图分类号:

TP301

叶锦鹏, 刘久兵, 陈子星, 刘佳欣, 刘盾, 徐标. 融入决策代价约束的智能推荐模型及拉格朗日求解算法[J]. 计算机应用, 2026, 46(6): 1904-1912.

Jinpeng YE, Jiubing LIU, Zixing CHEN, Jiaxin LIU, Dun LIU, Biao XU. Intelligent recommendation model incorporating decision cost constraints and Lagrangian solution algorithm[J]. Journal of Computer Applications, 2026, 46(6): 1904-1912.

图/表 8

图1 拉格朗日求解流程

Fig. 1 Lagrangian solution flow

表1 算法2与Gurobi的对比实验结果

Tab. 1 Comparison experimental results of Algorithm 2 and Gurobi

数据集	N	最大目标函数值			时间/s
数据集	N	算法2	Gurobi	降低率/%	算法2	Gurobi	降低率/%
数据集1	5	95 196.60			209.840
	6	113 896.39			241.990
	7	132 620.06			239.230
数据集2	5	8 014.57	8 061.68	0.584	0.237	1.976	88.01
	6	9 548.12	9 614.83	0.694	0.234	4.430	94.71
	7	11 167.56	11 204.40	0.329	0.494	4.196	88.23
数据集3	5	1 349 186.20			1 547.700
	6	1 157 876.86			1 628.810
	7	1 349 186.29			1 559.800

表2 本文模型与LightGCN的对比实验结果

Tab. 2 Comparison experimental results of proposed model and LightGCN

数据集	N	推荐准确性			分布多样性
数据集	N	本文模型	LightGCN	提升率/%	本文模型	LightGCN	提升率/%
数据集1	5	4.185 230 59	3.809 7	9.86	4.202 501 976	4.012 2	4.74
	6	4.159 359 83	3.804 6	9.32	4.304 282 604	4.150 5	3.71
	7	4.154 938 77	3.797 1	9.42	4.317 257 147	4.273 7	1.02
数据集2	5	4.644 216 90	3.881 7	19.64	2.783 413 113	4.497 2	-38.11
	6	4.312 579 97	3.877 8	11.21	4.636 324 998	4.627 7	0.19
	7	4.361 301 75	3.865 4	12.83	4.515 741 117	4.726 1	-4.45
数据集3	5	4.472 800 00	3.615 0	23.73	7.335 600 000	4.309 8	70.21
	6	4.459 116 32	3.611 6	23.47	7.398 622 300	4.429 6	67.03
	7	4.458 009 98	3.610 1	23.49	7.388 240 793	4.527 9	63.17

图2 3种算法的收敛曲线比较

Fig. 2 Convergence curve comparison of three algorithms

表3 3个数据集上3种算法实验结果

Tab. 3 Experimental results of three algorithms on three datasets

数据集	N	算法	$z ¯ = 7$				$z ¯ = 8$				$z ¯ = 9$
数据集	N	算法	MUB/10⁵	T/s	RA	DD	MUB/10⁵	T/s	RA	DD	MUB/10⁵	T/s	RA	DD
数据集1	5	算法3	2.26	78.58	4.26	3.65	2.05	78.40	4.26	3.72	2.05	76.27	4.34	3.65
		算法4	1.01	103.46	4.70	4.99	1.01	104.30	4.70	4.99	1.01	83.12	4.70	5.00
		算法2	0.91	52.09	4.37	6.86	0.89	67.52	4.30	7.08	0.86	411.99	4.23	7.30
	6	算法3	2.85	79.28	4.27	3.75	2.75	77.24	4.23	3.70	2.64	76.67	4.25	3.92
		算法4	1.21	162.72	4.69	5.50	1.21	120.75	4.69	5.03	1.21	100.49	4.69	5.05
		算法2	1.12	59.34	4.43	6.60	1.10	52.01	4.38	6.80	1.07	212.22	4.33	7.00
	7	算法3	3.43	65.27	4.20	3.77	3.37	52.96	4.33	3.80	3.25	68.87	4.25	3.63
		算法4	1.41	149.05	4.67	5.12	1.41	194.40	4.67	5.06	1.41	127.40	4.67	5.09
		算法2	1.33	53.49	4.46	6.43	1.31	56.33	4.43	6.60	1.29	59.15	4.38	6.77
数据集2	5	算法3	0.20	3.01	3.94	2.90	0.18	2.49	4.01	2.80	0.18	2.45	3.93	2.92
		算法4	0.08	0.38	4.29	3.43	0.08	0.67	4.29	3.43	0.08	0.64	4.28	3.52
		算法2	0.08	0.21	4.16	4.32	0.10	0.29	4.13	4.44	0.10	0.29	4.11	4.53
	6	算法3	0.23	2.47	3.97	3.05	0.24	3.51	3.94	2.86	0.23	2.83	3.89	3.10
		算法4	0.10	0.64	4.27	3.53	0.10	0.51	4.27	3.53	0.10	0.95	4.27	3.58
		算法2	0.10	0.30	4.18	4.21	0.10	0.29	4.16	4.31	0.10	0.40	4.14	4.40
	7	算法3	0.28	2.73	3.98	3.01	0.26	2.65	3.95	2.96	0.26	3.22	3.92	3.017
		算法4	0.12	0.64	4.25	3.61	0.12	0.57	4.26	3.60	0.12	0.72	4.26	3.60
		算法2	0.11	0.18	4.19	4.15	0.11	0.25	4.17	4.24	0.11	0.23	4.15	4.15
数据集3	5	算法3	28.47	2 538.11	4.29	4.35	28.27	1 743.57	4.32	4.27	27.80	1 892.10	4.37	4.00
		算法4	10.24	4 813.77	4.67	5.69	10.19	2 443.08	4.67	5.67	10.19	2 600.63	4.67	5.68
		算法2	10.08	832.27	4.60	6.42	10.06	467.47	4.58	6.58	10.03	873.00	4.56	6.70
	6	算法3	34.54	1 265.71	4.33	4.26	34.39	2 344.93	4.32	4.16	33.97	1 881.31	4.27	4.10
		算法4	12.20	5 083.20	4.66	5.78	12.20	2 276.57	4.66	5.76	12.20	2 752.51	4.66	5.76
		算法2	12.09	344.14	4.61	6.33	12.08	407.95	4.59	6.47	12.05	423.83	4.58	6.54
	7	算法3	40.71	1 569.33	4.30	4.27	40.41	1 564.59	4.34	4.32	40.12	1 451.13	4.31	4.32
		算法4	14.20	3 181.07	4.65	5.84	14.20	2 730.27	4.65	5.81	14.20	2 283.84	4.65	5.83
		算法2	14.10	598.86	4.61	6.30	14.08	675.21	4.60	6.36	14.06	992.78	4.59	6.47

表3 3个数据集上3种算法实验结果

Tab. 3 Experimental results of three algorithms on three datasets

数据集	N	算法	$z ¯ = 7$				$z ¯ = 8$				$z ¯ = 9$
数据集	N	算法	MUB/10⁵	T/s	RA	DD	MUB/10⁵	T/s	RA	DD	MUB/10⁵	T/s	RA	DD
数据集1	5	算法3	2.26	78.58	4.26	3.65	2.05	78.40	4.26	3.72	2.05	76.27	4.34	3.65
		算法4	1.01	103.46	4.70	4.99	1.01	104.30	4.70	4.99	1.01	83.12	4.70	5.00
		算法2	0.91	52.09	4.37	6.86	0.89	67.52	4.30	7.08	0.86	411.99	4.23	7.30
	6	算法3	2.85	79.28	4.27	3.75	2.75	77.24	4.23	3.70	2.64	76.67	4.25	3.92
		算法4	1.21	162.72	4.69	5.50	1.21	120.75	4.69	5.03	1.21	100.49	4.69	5.05
		算法2	1.12	59.34	4.43	6.60	1.10	52.01	4.38	6.80	1.07	212.22	4.33	7.00
	7	算法3	3.43	65.27	4.20	3.77	3.37	52.96	4.33	3.80	3.25	68.87	4.25	3.63
		算法4	1.41	149.05	4.67	5.12	1.41	194.40	4.67	5.06	1.41	127.40	4.67	5.09
		算法2	1.33	53.49	4.46	6.43	1.31	56.33	4.43	6.60	1.29	59.15	4.38	6.77
数据集2	5	算法3	0.20	3.01	3.94	2.90	0.18	2.49	4.01	2.80	0.18	2.45	3.93	2.92
		算法4	0.08	0.38	4.29	3.43	0.08	0.67	4.29	3.43	0.08	0.64	4.28	3.52
		算法2	0.08	0.21	4.16	4.32	0.10	0.29	4.13	4.44	0.10	0.29	4.11	4.53
	6	算法3	0.23	2.47	3.97	3.05	0.24	3.51	3.94	2.86	0.23	2.83	3.89	3.10
		算法4	0.10	0.64	4.27	3.53	0.10	0.51	4.27	3.53	0.10	0.95	4.27	3.58
		算法2	0.10	0.30	4.18	4.21	0.10	0.29	4.16	4.31	0.10	0.40	4.14	4.40
	7	算法3	0.28	2.73	3.98	3.01	0.26	2.65	3.95	2.96	0.26	3.22	3.92	3.017
		算法4	0.12	0.64	4.25	3.61	0.12	0.57	4.26	3.60	0.12	0.72	4.26	3.60
		算法2	0.11	0.18	4.19	4.15	0.11	0.25	4.17	4.24	0.11	0.23	4.15	4.15
数据集3	5	算法3	28.47	2 538.11	4.29	4.35	28.27	1 743.57	4.32	4.27	27.80	1 892.10	4.37	4.00
		算法4	10.24	4 813.77	4.67	5.69	10.19	2 443.08	4.67	5.67	10.19	2 600.63	4.67	5.68
		算法2	10.08	832.27	4.60	6.42	10.06	467.47	4.58	6.58	10.03	873.00	4.56	6.70
	6	算法3	34.54	1 265.71	4.33	4.26	34.39	2 344.93	4.32	4.16	33.97	1 881.31	4.27	4.10
		算法4	12.20	5 083.20	4.66	5.78	12.20	2 276.57	4.66	5.76	12.20	2 752.51	4.66	5.76
		算法2	12.09	344.14	4.61	6.33	12.08	407.95	4.59	6.47	12.05	423.83	4.58	6.54
	7	算法3	40.71	1 569.33	4.30	4.27	40.41	1 564.59	4.34	4.32	40.12	1 451.13	4.31	4.32
		算法4	14.20	3 181.07	4.65	5.84	14.20	2 730.27	4.65	5.81	14.20	2 283.84	4.65	5.83
		算法2	14.10	598.86	4.61	6.30	14.08	675.21	4.60	6.36	14.06	992.78	4.59	6.47

表4 算法2~4的正态性检验结果

Tab. 4 Normality test results for Algorithm 2 to 4

比较组	Shapiro-Wilk检验P值
比较组	MUB	T/s	RA	DD
算法2-算法3	0.000***	0.000***	0.013**	0.172
算法2-算法4	0.001***	0.000***	0.002***	0.003***
算法3-算法4	0.000***	0.000***	0.157	0.001***

表5 算法2~4的配对样本检验结果

Tab. 5 Paired sample test results for Algorithm 2 to 4

比较组	配对样本T检验P值
比较组	MUB	T/s	RA	DD
算法2-算法3	0.000***	0.001***	0.000***	0.000***
算法2-算法4	0.000***	0.000***	0.000***	0.000***
算法3-算法4	0.000***	0.002***	0.000***	0.000***

图3 不同数据集上不同α和N的推荐评估指标值

Fig. 3 Recommendation evaluation index values with different α and N on different datasets

参考文献 32

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融入决策代价约束的智能推荐模型及拉格朗日求解算法

Intelligent recommendation model incorporating decision cost constraints and Lagrangian solution algorithm

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