毕达哥拉斯模糊环境下基于效用三支决策的多属性决策方法

doi:10.11772/j.issn.1001-9081.2025091111

《计算机应用》唯一官方网站 ›› 2026, Vol. 46 ›› Issue (10): 3280-3287.DOI: 10.11772/j.issn.1001-9081.2025091111

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毕达哥拉斯模糊环境下基于效用三支决策的多属性决策方法

陶富悦¹^,², 王磊¹^,²(), 黎敏¹^,²

^1.江西水利电力大学信息工程学院，南昌 330099
^2.智慧水利江西省重点实验室（江西水利电力大学），南昌 330099

收稿日期:2025-09-23 修回日期:2025-12-26 接受日期:2025-12-30 发布日期:2026-03-18 出版日期:2026-10-10
通讯作者: 王磊
作者简介:陶富悦（2001—），女，安徽六安人，硕士研究生，主要研究方向：粒计算、粗糙集
黎敏（1975—），男，江西南昌人，教授，博士，主要研究方向：数据挖掘、知识发现、机器学习。
基金资助:
国家自然科学基金资助项目(61562061);国家自然科学基金资助项目(62566041)

Multi-attribute decision-making method based on utility three-way decision in Pythagorean fuzzy environments

Fuyue TAO¹^,², Lei WANG¹^,²(), Min LI¹^,²

^1.School of Information Engineering，Jiangxi University of Water Resources and Electric Power，Nanchang Jiangxi 330099，China
^2.Jiangxi Province Key Laboratory of Smart Water Conservancy （Jiangxi University of Water Resources and Electric Power），Nanchang Jiangxi 330099，China

Received:2025-09-23 Revised:2025-12-26 Accepted:2025-12-30 Online:2026-03-18 Published:2026-10-10
Contact: Lei WANG
About author:TAO Fuyue， born in 2001， M. S. candidate. Her research interests include granular computing， rough set.
LI Min， born in 1975， Ph. D.， professor. His research interests include data mining， knowledge discovery， machine learning.
Supported by:
National Natural Science Foundation of China(61562061)

摘要/Abstract

摘要：

传统的多属性决策（MADM）方法基于二支决策，即接受和拒绝，而三支决策（3WD）通过增加一个延迟决策降低决策风险。在当前复杂多变的决策环境下，利用3WD为MADM提供解决方案已经成为一个热门研究。本文提出一种基于毕达哥拉斯模糊数（PFN）相似度的效用三支多属性决策模型。首先，将相对效用函数拓展到毕达哥拉斯模糊环境下，结合PFN的相似度度量，建立一个基于相似度的相对效用函数；其次，利用记分函数得到理想优、劣母序列，结合PFN的距离度量计算灰色关联系数，进而提出一种基于灰色关联分析（GRA）的条件概率计算方法；在此基础上，利用期望效用引入排序策略得到基于PFN相似度的效用三支多属性决策模型。通过开发新的生活垃圾处理厂中的选址评估案例，验证该方法的可行性。实验结果表明，该方法可以精准划分方案分类，降低决策风险的可行性，相较于传统MADM方法，以客观权重结合3WD分类，突破了仅排序局限；相较于三支MADM方法，经灰色关联优化条件概率，更贴合3WD的分类逻辑。

关键词: 毕达哥拉斯模糊集, 多属性决策, 三支决策, 效用函数, 相似度度量, 三支多属性决策

Abstract:

The traditional Multi-Attribute Decision-Making （MADM） methods are based on two-way decision， which involve only acceptance or rejection. Three-Way Decision （3WD） reduces decision risks by introducing a deferred decision. In the current complex and dynamic decision-making environments， applying 3WD to provide solutions to MADM problems has emerged as a hot research topic. Therefore， a utility three-way multi-attribute decision-making model based on Pythagorean Fuzzy Numbers （PFNs） similarity was proposed. First， the relative utility function was extended to the Pythagorean fuzzy environment， and a similarity measure of PFNs was integrated， to establish a similarity-based relative utility function. Then， the ideal superior and inferior reference sequences were obtained using the score functions， and grey relational coefficients were computed on the basis of distance measures between PFNs， thus proposing a method for calculating conditional probabilities based on Grey Relational Analysis （GRA）. Based on this， a ranking strategy was introduced via expected utility， thereby obtaining a three-way multi-attribute decision-making model based on PFN similarity. The feasibility of the proposed method was validated through a site selection assessment case for new municipal solid waste treatment plants. Experimental results demonstrate that the proposed method can categorize alternatives precisely and reduce decision risks. Compared to the traditional MADM methods， it incorporates objective weights with 3WD classification to overcome the limitation of only ranking； compared to the three-way MADM methods， its GRA optimized conditional probabilities are more consistent with the classification logic of 3WD.

Key words: Pythagorean Fuzzy Set (PFS), Multi-Attribute Decision-Making (MADM), Three-Way Decision (3WD), utility function, similarity measure, three-way multi-attribute decision-making

中图分类号:

TP391

陶富悦, 王磊, 黎敏. 毕达哥拉斯模糊环境下基于效用三支决策的多属性决策方法[J]. 计算机应用, 2026, 46(10): 3280-3287.

Fuyue TAO, Lei WANG, Min LI. Multi-attribute decision-making method based on utility three-way decision in Pythagorean fuzzy environments[J]. Journal of Computer Applications, 2026, 46(10): 3280-3287.

图/表 14

表1 相对效用函数

Tab. 1 Relative utility function

行动	$C$	$¬ C$
$a P$	$u P P$	$u P N = 0$
$a B$	$u B P = ξ u P P$	$u B N = ξ u N N$
$a N$	$u N P = 0$	$u N N$

表1 相对效用函数

Tab. 1 Relative utility function

行动	$C$	$¬ C$
$a P$	$u P P$	$u P N = 0$
$a B$	$u B P = ξ u P P$	$u B N = ξ u N N$
$a N$	$u N P = 0$	$u N N$

表2 单个属性下的相对效用函数

Tab. 2 Relative utility function under single attribute

行动	$X$	$¬ X$
$b P$	$u P P i j = s (z i j, z j +)$	$u P N i j = 0$
$b B$	$u B P i j = ξ u P P i j = ξ s (z i j, z j +)$	$u B N i j = ξ u N N i j = ξ s (z i j, z j -)$
$b N$	$u N P i j = 0$	$u N N i j = s (z i j, z j -)$

表2 单个属性下的相对效用函数

Tab. 2 Relative utility function under single attribute

行动	$X$	$¬ X$
$b P$	$u P P i j = s (z i j, z j +)$	$u P N i j = 0$
$b B$	$u B P i j = ξ u P P i j = ξ s (z i j, z j +)$	$u B N i j = ξ u N N i j = ξ s (z i j, z j -)$
$b N$	$u N P i j = 0$	$u N N i j = s (z i j, z j -)$

表3 基于相似度的综合相对效用函数

Tab. 3 Comprehensive relative utility function based on similarity

行动	$X$	$¬ X$
$b P$	$u P P i = ∑ j = 1 n w j u P P i j$	$u P N i = 0$
$b B$	$u B P i = ξ ∑ j = 1 n w j u B P i j$	$u B N i = ξ ∑ j = 1 n w j u B N i j$
$b N$	$u N P i = 0$	$u N N i = ∑ j = 1 n w j u N N i j$

表3 基于相似度的综合相对效用函数

Tab. 3 Comprehensive relative utility function based on similarity

行动	$X$	$¬ X$
$b P$	$u P P i = ∑ j = 1 n w j u P P i j$	$u P N i = 0$
$b B$	$u B P i = ξ ∑ j = 1 n w j u B P i j$	$u B N i = ξ ∑ j = 1 n w j u B N i j$
$b N$	$u N P i = 0$	$u N N i = ∑ j = 1 n w j u N N i j$

图1 模型框架

Fig. 1 Model framework

表4 毕达哥拉斯模糊信息系统

Tab. 4 Pythagorean fuzzy information system

备选方案	$v 1$	$v 2$	$v 3$	$v 4$	$v 5$	$v 6$
$a 1$	（0.38， 0.60）	（0.81， 0.38）	（0.75， 0.35）	（0.77， 0.19）	（0.72， 0.18）	（0.70， 0.43）
$a 2$	（0.70， 0.22）	（0.34， 0.40）	（0.31， 0.74）	（0.48， 0.33）	（0.30， 0.68）	（0.24， 0.76）
$a 3$	（0.64， 0.15）	（0.66， 0.37）	（0.83， 0.32）	（0.39， 0.63）	（0.82， 0.47）	（0.87， 0.20）
$a 4$	（0.81， 0.33）	（0.45， 0.33）	（0.60， 0.26）	（0.78， 0.43）	（0.37， 0.53）	（0.21， 0.73）
$a 5$	（0.14， 0.62）	（0.16， 0.61）	（0.21， 0.55）	（0.81， 0.35）	（0.15， 0.53）	（0.75， 0.13）

表4 毕达哥拉斯模糊信息系统

Tab. 4 Pythagorean fuzzy information system

备选方案	$v 1$	$v 2$	$v 3$	$v 4$	$v 5$	$v 6$
$a 1$	（0.38， 0.60）	（0.81， 0.38）	（0.75， 0.35）	（0.77， 0.19）	（0.72， 0.18）	（0.70， 0.43）
$a 2$	（0.70， 0.22）	（0.34， 0.40）	（0.31， 0.74）	（0.48， 0.33）	（0.30， 0.68）	（0.24， 0.76）
$a 3$	（0.64， 0.15）	（0.66， 0.37）	（0.83， 0.32）	（0.39， 0.63）	（0.82， 0.47）	（0.87， 0.20）
$a 4$	（0.81， 0.33）	（0.45， 0.33）	（0.60， 0.26）	（0.78， 0.43）	（0.37， 0.53）	（0.21， 0.73）
$a 5$	（0.14， 0.62）	（0.16， 0.61）	（0.21， 0.55）	（0.81， 0.35）	（0.15， 0.53）	（0.75， 0.13）

表5 针对算例的基于相似度的综合相对效用函数

Tab. 5 Comprehensive relative utility function based on similarity for instance

效用函数	$a 1$	$a 2$	$a 3$	$a 4$	$a 5$
$u P P i$	0.876 0	0.584 7	0.813 3	0.687 0	0.593 4
$u B P i$	0.613 2	0.409 3	0.569 3	0.480 9	0.415 4
$u B N i$	0.420 2	0.597 7	0.402 6	0.499 1	0.535 9
$u N N i$	0.600 3	0.853 9	0.575 1	0.713 0	0.765 6

表5 针对算例的基于相似度的综合相对效用函数

Tab. 5 Comprehensive relative utility function based on similarity for instance

效用函数	$a 1$	$a 2$	$a 3$	$a 4$	$a 5$
$u P P i$	0.876 0	0.584 7	0.813 3	0.687 0	0.593 4
$u B P i$	0.613 2	0.409 3	0.569 3	0.480 9	0.415 4
$u B N i$	0.420 2	0.597 7	0.402 6	0.499 1	0.535 9
$u N N i$	0.600 3	0.853 9	0.575 1	0.713 0	0.765 6

表6 决策阈值

Tab. 6 Decision thresholds

备选方案	$α i$	$β i$	$P r (X [a i])$
$a 1$	0.615 2	0.227 0	0.657 6
$a 2$	0.773 1	0.384 9	0.350 7
$a 3$	0.622 6	0.232 6	0.600 8
$a 4$	0.707 7	0.307 9	0.498 4
$a 5$	0.750 7	0.356 1	0.406 4

表6 决策阈值

Tab. 6 Decision thresholds

备选方案	$α i$	$β i$	$P r (X [a i])$
$a 1$	0.615 2	0.227 0	0.657 6
$a 2$	0.773 1	0.384 9	0.350 7
$a 3$	0.622 6	0.232 6	0.600 8
$a 4$	0.707 7	0.307 9	0.498 4
$a 5$	0.750 7	0.356 1	0.406 4

表7 参数ξ对分类结果的影响

Tab. 7 Impact of parameter ξ on classification results

$ξ$	POS	BND	NEG
0.1	$a 1, a 2, a 3, a 4, a 5$	$∅$	$∅$
0.3	$a 1, a 3, a 4, a 5$	$∅$	$a 2$
0.5	$a 1, a 3$	$∅$	$a 2, a 4, a 5$
0.7	$a 1$	$a 3, a 4, a 5$	$a 2$
0.9	$∅$	$a 1, a 2, a 3, a 4, a 5$	$∅$

表7 参数ξ对分类结果的影响

Tab. 7 Impact of parameter ξ on classification results

$ξ$	POS	BND	NEG
0.1	$a 1, a 2, a 3, a 4, a 5$	$∅$	$∅$
0.3	$a 1, a 3, a 4, a 5$	$∅$	$a 2$
0.5	$a 1, a 3$	$∅$	$a 2, a 4, a 5$
0.7	$a 1$	$a 3, a 4, a 5$	$a 2$
0.9	$∅$	$a 1, a 2, a 3, a 4, a 5$	$∅$

表8 不同MADM方法的排序结果

Tab. 8 Ranking results of different MADM methods

方法	排序结果
本文方法	$x 1 > x 4 > x 2 > x 3 > x 6 > x 5$
文献［18］方法	$x 1 > x 4 > x 6 > x 3 > x 2 > x 5$
文献［20］方法	$x 1 > x 4 > x 6 > x 3 > x 2 > x 5$
文献［22］方法	$x 1 > x 4 > x 6 > x 3 > x 2 > x 5$

表8 不同MADM方法的排序结果

Tab. 8 Ranking results of different MADM methods

方法	排序结果
本文方法	$x 1 > x 4 > x 2 > x 3 > x 6 > x 5$
文献［18］方法	$x 1 > x 4 > x 6 > x 3 > x 2 > x 5$
文献［20］方法	$x 1 > x 4 > x 6 > x 3 > x 2 > x 5$
文献［22］方法	$x 1 > x 4 > x 6 > x 3 > x 2 > x 5$

图2 不同三支MADM方法的分类结果

Fig. 2 Classification results of different three-way MADM methods

表9 不同三支MADM方法的排序结果

Tab. 9 Ranking results of different three-way MADM methods

方法	排序结果
本文方法	$x 1 > x 3 > x 4 > x 2 > x 6 > x 5$
文献［25］方法	$x 1 > x 5 > x 4 > x 2 > x 6 > x 3$
文献［28］方法	$x 1 > x 4 > x 5 > x 2 > x 6 > x 3$

表9 不同三支MADM方法的排序结果

Tab. 9 Ranking results of different three-way MADM methods

方法	排序结果
本文方法	$x 1 > x 3 > x 4 > x 2 > x 6 > x 5$
文献［25］方法	$x 1 > x 5 > x 4 > x 2 > x 6 > x 3$
文献［28］方法	$x 1 > x 4 > x 5 > x 2 > x 6 > x 3$

图3 3种方法排序结果的斯皮尔曼等级相关系数

Fig. 3 Spearman’s rank correlation coefficient of ranking results of three methods

表10 3种方法的理论分析

Tab. 10 Theoretical analysis of three methods

方法

损失/效用

函数

表11 不同数据规模下的运行时间

Tab. 11 Running time under different data scales

数据集	方案数	属性数	平均运行时间/ms
D₁	5	6	12.3
D₂	10	6	38.7
D₃	30	10	425.1
D₄	100	15	8 324.9

参考文献 28

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毕达哥拉斯模糊环境下基于效用三支决策的多属性决策方法

Multi-attribute decision-making method based on utility three-way decision in Pythagorean fuzzy environments

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参考文献 28

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