求解多模概率分布Gamma混合模型的半EM算法

doi:10.11772/j.issn.1001-9081.2024070942

《计算机应用》唯一官方网站 ›› 2025, Vol. 45 ›› Issue (7): 2153-2161.DOI: 10.11772/j.issn.1001-9081.2024070942

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求解多模概率分布Gamma混合模型的半EM算法

陈佳琪¹^,², 何玉林²(), 成英超², 黄哲学¹^,²

^1.深圳大学计算机与软件学院，广东深圳 518060
^2.人工智能与数字经济广东省实验室（深圳），广东深圳 518107

收稿日期:2024-07-08 修回日期:2024-09-05 接受日期:2024-10-09 发布日期:2025-07-10 出版日期:2025-07-10
通讯作者: 何玉林
作者简介:陈佳琪（1999—），女，广东普宁人，博士研究生，主要研究方向：多样本统计分析、数据挖掘、机器学习
何玉林（1982—），男，河北衡水人，研究员，博士，CCF会员，主要研究方向：大数据系统计算、多样本统计分析、数据挖掘、机器学习 yulinhe@gml.ac.cn
成英超（1989—），男，河北邯郸人，副研究员，博士，CCF会员，主要研究方向：人工智能、大数据智能计算、数据挖掘、机器学习
黄哲学（1959—），男，黑龙江哈尔滨人，教授，博士，CCF会员，主要研究方向：新型算力网络的智能计算、大数据近似计算、数据挖掘、机器学习。
基金资助:
广东省基础与应用基础研究基金粤深联合基金资助项目(2023B1515120020);广东省自然科学基金资助项目(2023A1515011667);深圳市科技重大专项(202302D074);深圳市基础研究面上项目(JCYJ20210324093609026)

Semi-EM algorithm for solving Gamma mixture model of multimodal probability distribution

Jiaqi CHEN¹^,², Yulin HE²(), Yingchao CHENG², Zhexue HUANG¹^,²

^1.College of Computer Science and Software Engineering，Shenzhen University，Shenzhen Guangdong 518060，China
^2.Guangdong Laboratory of Artificial Intelligence and Digital Economy （SZ），Shenzhen Guangdong 518107，China

Received:2024-07-08 Revised:2024-09-05 Accepted:2024-10-09 Online:2025-07-10 Published:2025-07-10
Contact: Yulin HE
About author:CHEN Jiaqi， born in 1999， Ph. D. candidate. Her research interests include multi-sample statistical analysis， data mining， machine learning.
HE Yulin， born in 1982， Ph. D.， research fellow. His research interests include big data system computing， multi-sample statistical analysis， data mining， machine learning.
CHENG Yingchao， born in 1989， Ph. D.， associate research fellow. His research interests include artificial intelligence， intelligent computing for big data， data mining， machine learning.
HUANG Zhexue， born in 1959， Ph. D.， professor. His research interests include intelligent computing of new computing power network， big data approximation computing， data mining， machine learning.
Supported by:
Guangdong Shenzhen Joint Fund of Guangdong Basic and Applied Basic Research Foundation(2023B1515120020);Natural Science Foundation of Guangdong Province(2023A1515011667);Science and Technology Major Project of Shenzhen(202302D074);Basic Research Foundation of Shenzhen(JCYJ20210324093609026)

摘要/Abstract

摘要：

期望最大化（EM）算法在混合模型参数估计中发挥着重要作用，然而现有的EM算法在求解Gamma混合模型（GaMM）参数时存在局限性，主要体现在因近似计算导致的低质量参数估计，以及由于大量数值计算造成的计算效率低下问题。为了克服这些局限，并充分利用数据的多模性质，提出一种半EM（Semi-EM）算法求解用于估计多模概率分布的GaMM。首先，通过聚类探测数据的空间分布特性，以初始化GaMM参数，进而更准确地刻画数据的多模性；其次，在EM算法框架的基础上，对于缺乏封闭更新表达式而导致的参数更新困难问题，采用自定义的启发式策略对GaMM形状参数进行更新，使它们朝着最大化对数似然值的方向逐步调整，同时以封闭形式更新其他参数。经过一系列具有说服力的实验，验证了Semi-EM算法的可行性、合理性和有效性。实验结果表明，Semi-EM算法在精确估计多模概率分布方面优于对比的4种算法，具有更低的误差指标以及更高的对数似然值，表明该算法能提供更准确的模型参数估计，从而更精确地刻画数据的多模性质。

关键词: 多模概率密度函数, Gamma混合模型, 期望最大化算法, 聚类, 对数似然函数

Abstract:

Expectation-Maximization （EM） algorithm plays an important role in parameter estimation for mixture models. However， the existing EM algorithms for solving Gamma Mixture Model （GaMM） parameters have limitations， which mainly are the problems of low-quality parameter estimation led by approximate calculations and inefficient computation due to many numerical calculations. To address these limitations and fully exploit the multimodal nature of data， a Semi-EM algorithm was proposed to solve GaMM for estimating multimodal probability distributions. Firstly， spatial distribution characteristics of the data were explored by using clustering， thereby initializing GaMM parameters and so that a more precise characterization of data’s multimodality was obtained. Secondly， based on the framework of EM algorithm， a customized heuristic strategy was employed to address the challenge of parameter update difficulty caused by the absence of closed-updated expressions. The shape parameters of GaMM were updated by adopting this strategy towards maximizing the log-likelihood value gradually， while remaining parameters were updated in closed-form. A series of persuasive experiments were conducted to validate the feasibility， rationality， and effectiveness of the proposed Semi-EM algorithm. Experimental results demonstrate that the Semi-EM algorithm outperforms the four comparison algorithms in estimating multimodal probability distributions accurately. Specifically， the Semi-EM algorithm has lower error metrics and higher log-likelihood values， indicating that this algorithm can provide more accurate model parameter estimation and then obtain more precise representation of multimodal nature of the data.

Key words: multimodal Probability Density Function (PDF), Gamma Mixture Model (GaMM), Expectation-Maximization (EM) algorithm, clustering, log-likelihood function

中图分类号:

TP181

陈佳琪, 何玉林, 成英超, 黄哲学. 求解多模概率分布Gamma混合模型的半EM算法[J]. 计算机应用, 2025, 45(7): 2153-2161.

Jiaqi CHEN, Yulin HE, Yingchao CHENG, Zhexue HUANG. Semi-EM algorithm for solving Gamma mixture model of multimodal probability distribution[J]. Journal of Computer Applications, 2025, 45(7): 2153-2161.

图/表 10

图1 多模分布

Fig. 1 Multimodal distribution

图2 更新α的图示

Fig. 2 Illustration for updating α

表1 实验中使用的8个仿真数据集

Tab. 1 Eight synthetic datasets used in experiments

数据集	样本数		模数	权重 $π$	形状参数 $α$	尺度参数 $β$
数据集	训练集	测试集	模数	权重 $π$	形状参数 $α$	尺度参数 $β$
#1	1 000	2 000	3	［0.33，0.50，0.17］	［14，67，120］	［1.62，1.38，1.69］
#2	1 000	2 000	4	［0.24，0.24，0.24，0.28］	［90，25，54，73］	［2.55，1.37，2.53，1.23］
#3	2 000	4 000	5	［0.12，0.27，0.33，0.13，0.15］	［24，75，127，177，234］	［1.37，1.39，1.43，1.43，1.39］
#4	2 000	4 000	5	［0.20，0.20，0.20，0.20，0.20］	［41，98，156，214，270］	［1.32，1.68，2.31，2.85，2.89］
#5	2 500	5 000	6	［0.09，0.08，0.10，0.38，0.14，0.21］	［19，74，127，186，240，299］	［1.77，1.14，1.24，1.44，1.46，1.64］
#6	2 500	5 000	6	［0.16，0.16，0.16，0.16，0.16，0.20］	［48，102，153，210，262，318］	［1.96，2.56，2.50，2.33，2.94，2.92］
#7	3 000	6 000	7	［0.14，0.14，0.14，0.14，0.14，0.14，0.16］	［284，136，532，400，96，4，418］	［1.52，1.72，1.91，1.59，1.80，1.77，1.86］
#8	3 000	6 000	8	［0.12，0.12，0.12，0.12，0.12，0.12，0.12，0.16］	［12，62，115，170，228，285，342，394］	［1.85，1.54，1.97，1.82，1.87，1.80，1.87，1.99］

表1 实验中使用的8个仿真数据集

Tab. 1 Eight synthetic datasets used in experiments

数据集	样本数		模数	权重 $π$	形状参数 $α$	尺度参数 $β$
数据集	训练集	测试集	模数	权重 $π$	形状参数 $α$	尺度参数 $β$
#1	1 000	2 000	3	［0.33，0.50，0.17］	［14，67，120］	［1.62，1.38，1.69］
#2	1 000	2 000	4	［0.24，0.24，0.24，0.28］	［90，25，54，73］	［2.55，1.37，2.53，1.23］
#3	2 000	4 000	5	［0.12，0.27，0.33，0.13，0.15］	［24，75，127，177，234］	［1.37，1.39，1.43，1.43，1.39］
#4	2 000	4 000	5	［0.20，0.20，0.20，0.20，0.20］	［41，98，156，214，270］	［1.32，1.68，2.31，2.85，2.89］
#5	2 500	5 000	6	［0.09，0.08，0.10，0.38，0.14，0.21］	［19，74，127，186，240，299］	［1.77，1.14，1.24，1.44，1.46，1.64］
#6	2 500	5 000	6	［0.16，0.16，0.16，0.16，0.16，0.20］	［48，102，153，210，262，318］	［1.96，2.56，2.50，2.33，2.94，2.92］
#7	3 000	6 000	7	［0.14，0.14，0.14，0.14，0.14，0.14，0.16］	［284，136，532，400，96，4，418］	［1.52，1.72，1.91，1.59，1.80，1.77，1.86］
#8	3 000	6 000	8	［0.12，0.12，0.12，0.12，0.12，0.12，0.12，0.16］	［12，62，115，170，228，285，342，394］	［1.85，1.54，1.97，1.82，1.87，1.80，1.87，1.99］

表2 实验中使用的4个UCI据集

Tab. 2 Four UCI datasets used in experiments

数据集	属性	实例数	下载地址
Concrete Compressive Strength	Mpa	1 030	https：//archive.ics.uci.edu/dataset/165/concrete+compressive+strength
HCV Data	AST	589	https：//archive.ics.uci.edu/dataset/571/hcv+data
Ozone Level Detection	WSR16	1 846	https：//archive.ics.uci.edu/dataset/172/ozone+level+detection
Glass	RI	213	https：//archive.ics.uci.edu/dataset/42/glass+identification

图3 Semi-EM算法在数据集#2上的收敛情况

Fig. 3 Convergence of Semi-EM algorithm on dataset #2

图4 Semi-EM算法在数据集#3上的收敛情况

Fig. 4 Convergence of Semi-EM algorithm on dataset #3

图5 Semi-EM算法估计的PDF

Fig. 5 PDFs estimated by using Semi-EM algorithm

图6 使用不同算法估计PDF的比较

Fig. 6 Comparison of PDFs estimated by using different algorithms

表3 在仿真数据集上比较不同算法估计的PDF

Tab. 3 Comparison of PDFs estimated by using different algorithms on synthetic datasets

算法	数据集#1					数据集#2
算法	TMSE	TJSD	GMSE	GJSD	log-likelihood	TMSE	TJSD	GMSE	GJSD	log-likelihood
EM-GMM	1.288 7E-06	0.001 355 86	3.301 7E-07	0.003 696 67	-7 097.856 3	5.743 5E-07	0.002 148 45	2.538 5E-07	0.003 207 55	-5 336.178 1
GaMM2006	2.199 7E-08	2.566 3E-05	6.610 6E-09	4.592 8E-05	-7 077.843 4	1.731 7E-07	0.000 786 90	9.714 8E-08	0.001 563 3	-5 332.252 7
GaMM2014	1.938 2E-08	2.406 2E-05	5.923 1E-09	4.232 9E-05	-7 077.881 0	1.790 3E-06	0.008 408 44	1.086 8E-06	0.017 134 4	-5 358.035 7
GaMM2019	2.257 4E-08	2.627 4E-05	6.797 E-09	4.775 4E-05	-7 077.843 1	5.594 5E-06	0.030 393 91	3.548 3E-06	0.060 513 38	-5 473.822 9
Semi-EM	1.938 2E-08	2.406 3E-05	5.923 1E-09	4.232 9E-05	-7 077.881 0	1.652 E-07	0.000 678 26	8.320 6E-08	0.001 218 64	-5 332.837 8
算法	数据集#3					数据集#4
算法	TMSE	TJSD	GMSE	GJSD	log-likelihood	TMSE	TJSD	GMSE	GJSD	log-likelihood
EM-GMM	1.046 7E-07	0.000 820 69	6.086 5E-08	0.001 906 74	-11 069.391	9.545 1E-08	0.001 262 04	2.532 9E-08	0.002 626 14	-12 266.562
GaMM2006	8.077 0E-08	0.000 613 11	4.501 1E-08	0.001 078 25	-11 069.841	1.578 6E-07	0.007 147 08	1.444 1E-07	0.021 879 93	-12 389.272
GaMM2014	2.005 7E-07	0.001 547 10	1.108 1E-07	0.003 740 39	-11 095.797	3.668 7E-08	0.000 753 73	1.524 3E-08	0.002 401 10	-12 267.118
GaMM2019	2.741 7E-07	0.004 353 55	3.213 3E-07	0.010 848 10	-11 127.867	1.575 6E-07	0.007 140 97	1.442 6E-07	0.021 870 18	-12 389.271
Semi-EM	7.232 4E-08	0.000 569 31	4.439 4E-08	0.001 375 90	-11 074.342	2.623 E-08	0.000 544 58	1.178 2E-08	0.001 882 12	-12 265.364
算法	数据集#5					数据集#6
算法	TMSE	TJSD	GMSE	GJSD	log-likelihood	TMSE	TJSD	GMSE	GJSD	log-likelihood
EM-GMM	1.096 5E-07	0.001 304 30	4.527 5E-08	0.002 518 51	-14 724.125	1.549 1E-08	0.000 736 18	7.018 7E-09	0.001 360 99	-16 355.412
GaMM2006	3.682 9E-07	0.009 209 18	3.378 6E-07	0.030 770 04	-14 924.537	1.111 6E-08	0.000 435 45	4.730 6E-09	0.000 809 38	-16 344.487
GaMM2014	1.223 8E-07	0.001 992 63	7.087 3E-08	0.005 347 13	-14 761.696	1.913 1E-08	0.000 976 98	1.061 6E-08	0.002 099 25	-16 352.326
GaMM2019	2.443 7E-08	0.000 420 71	1.474 E-08	0.001 004 11	-14 721.810	6.435 4E-08	0.005 457 10	5.254 3E-08	0.010 626 59	-16 409.141
Semi-EM	4.946 5E-08	0.000 539 35	2.122 3E-08	0.001 160 53	-14 724.010	1.116 3E-08	0.000 458 13	5.028 2E-09	0.000 855 10	-16 344.724
算法	数据集#7					数据集#8
算法	TMSE	TJSD	GMSE	GJSD	log-likelihood	TMSE	TJSD	GMSE	GJSD	log-likelihood
EM-GMM	1.594 5E-06	0.007 736 24	1.108 4E-07	0.004 702 12	-19 023.714	9.971 7E-08	0.002 164 32	2.631 9E-08	0.002 423 68	-19 405.375
GaMM2006	3.573 1E-07	0.014 151 94	2.225 5E-07	0.063 368 13	-19 543.963	1.966 2E-06	0.041 967 65	6.089 3E-07	0.065 312 87	-19 930.687
GaMM2014	1.636 1E-06	0.007 726 38	1.548 9E-07	0.007 352 26	-19 030.878	7.123 5E-08	0.002 724 77	3.277 5E-08	0.005 498 42	-19 433.913
GaMM2019	2.091 8E-07	0.004 878 20	7.528 1E-08	0.009 700 39	-19 077.768	6.554 6E-08	0.004 967 89	6.128 5E-08	0.010 790 24	-19 495.266
Semi-EM	5.500 2E-08	0.000 820 56	1.210 1E-08	0.001 840 06	-18 986.337	1.908 1E-08	0.001 012 99	1.335 6E-08	0.002 153 18	-19 402.666

表3 在仿真数据集上比较不同算法估计的PDF

Tab. 3 Comparison of PDFs estimated by using different algorithms on synthetic datasets

算法	数据集#1					数据集#2
算法	TMSE	TJSD	GMSE	GJSD	log-likelihood	TMSE	TJSD	GMSE	GJSD	log-likelihood
EM-GMM	1.288 7E-06	0.001 355 86	3.301 7E-07	0.003 696 67	-7 097.856 3	5.743 5E-07	0.002 148 45	2.538 5E-07	0.003 207 55	-5 336.178 1
GaMM2006	2.199 7E-08	2.566 3E-05	6.610 6E-09	4.592 8E-05	-7 077.843 4	1.731 7E-07	0.000 786 90	9.714 8E-08	0.001 563 3	-5 332.252 7
GaMM2014	1.938 2E-08	2.406 2E-05	5.923 1E-09	4.232 9E-05	-7 077.881 0	1.790 3E-06	0.008 408 44	1.086 8E-06	0.017 134 4	-5 358.035 7
GaMM2019	2.257 4E-08	2.627 4E-05	6.797 E-09	4.775 4E-05	-7 077.843 1	5.594 5E-06	0.030 393 91	3.548 3E-06	0.060 513 38	-5 473.822 9
Semi-EM	1.938 2E-08	2.406 3E-05	5.923 1E-09	4.232 9E-05	-7 077.881 0	1.652 E-07	0.000 678 26	8.320 6E-08	0.001 218 64	-5 332.837 8
算法	数据集#3					数据集#4
算法	TMSE	TJSD	GMSE	GJSD	log-likelihood	TMSE	TJSD	GMSE	GJSD	log-likelihood
EM-GMM	1.046 7E-07	0.000 820 69	6.086 5E-08	0.001 906 74	-11 069.391	9.545 1E-08	0.001 262 04	2.532 9E-08	0.002 626 14	-12 266.562
GaMM2006	8.077 0E-08	0.000 613 11	4.501 1E-08	0.001 078 25	-11 069.841	1.578 6E-07	0.007 147 08	1.444 1E-07	0.021 879 93	-12 389.272
GaMM2014	2.005 7E-07	0.001 547 10	1.108 1E-07	0.003 740 39	-11 095.797	3.668 7E-08	0.000 753 73	1.524 3E-08	0.002 401 10	-12 267.118
GaMM2019	2.741 7E-07	0.004 353 55	3.213 3E-07	0.010 848 10	-11 127.867	1.575 6E-07	0.007 140 97	1.442 6E-07	0.021 870 18	-12 389.271
Semi-EM	7.232 4E-08	0.000 569 31	4.439 4E-08	0.001 375 90	-11 074.342	2.623 E-08	0.000 544 58	1.178 2E-08	0.001 882 12	-12 265.364
算法	数据集#5					数据集#6
算法	TMSE	TJSD	GMSE	GJSD	log-likelihood	TMSE	TJSD	GMSE	GJSD	log-likelihood
EM-GMM	1.096 5E-07	0.001 304 30	4.527 5E-08	0.002 518 51	-14 724.125	1.549 1E-08	0.000 736 18	7.018 7E-09	0.001 360 99	-16 355.412
GaMM2006	3.682 9E-07	0.009 209 18	3.378 6E-07	0.030 770 04	-14 924.537	1.111 6E-08	0.000 435 45	4.730 6E-09	0.000 809 38	-16 344.487
GaMM2014	1.223 8E-07	0.001 992 63	7.087 3E-08	0.005 347 13	-14 761.696	1.913 1E-08	0.000 976 98	1.061 6E-08	0.002 099 25	-16 352.326
GaMM2019	2.443 7E-08	0.000 420 71	1.474 E-08	0.001 004 11	-14 721.810	6.435 4E-08	0.005 457 10	5.254 3E-08	0.010 626 59	-16 409.141
Semi-EM	4.946 5E-08	0.000 539 35	2.122 3E-08	0.001 160 53	-14 724.010	1.116 3E-08	0.000 458 13	5.028 2E-09	0.000 855 10	-16 344.724
算法	数据集#7					数据集#8
算法	TMSE	TJSD	GMSE	GJSD	log-likelihood	TMSE	TJSD	GMSE	GJSD	log-likelihood
EM-GMM	1.594 5E-06	0.007 736 24	1.108 4E-07	0.004 702 12	-19 023.714	9.971 7E-08	0.002 164 32	2.631 9E-08	0.002 423 68	-19 405.375
GaMM2006	3.573 1E-07	0.014 151 94	2.225 5E-07	0.063 368 13	-19 543.963	1.966 2E-06	0.041 967 65	6.089 3E-07	0.065 312 87	-19 930.687
GaMM2014	1.636 1E-06	0.007 726 38	1.548 9E-07	0.007 352 26	-19 030.878	7.123 5E-08	0.002 724 77	3.277 5E-08	0.005 498 42	-19 433.913
GaMM2019	2.091 8E-07	0.004 878 20	7.528 1E-08	0.009 700 39	-19 077.768	6.554 6E-08	0.004 967 89	6.128 5E-08	0.010 790 24	-19 495.266
Semi-EM	5.500 2E-08	0.000 820 56	1.210 1E-08	0.001 840 06	-18 986.337	1.908 1E-08	0.001 012 99	1.335 6E-08	0.002 153 18	-19 402.666

表4 在UCI数据集上比较不同算法得到的对数似然值

Tab. 4 Comparison of log-likelihood values estimated by using different algorithms on UCI datasets

算法	Concrete Compressive Strength	HCV Data	Ozone Level Detection	Glass
EM-GMM	-4 323.56	-2 226.41	-3 053.25	549.012 1
GaMM2006	-4 314.74	-2 211.78	-3 037.53	555.751 1
GaMM2014	-4 329.64	-2 256.15	-3 064.82	492.182 3
GaMM2019	-4 320.15	-2 217.24	-3 037.53	540.282 1
Semi-EM	-4 314.74	-2 209.43	-3 037.52	553.408 5

参考文献 35

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求解多模概率分布Gamma混合模型的半EM算法

Semi-EM algorithm for solving Gamma mixture model of multimodal probability distribution

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图/表 10

参考文献 35

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