基于子区域的超多目标进化算法

doi:10.11772/j.issn.1001-9081.2025050534

《计算机应用》唯一官方网站 ›› 2026, Vol. 46 ›› Issue (4): 1199-1210.DOI: 10.11772/j.issn.1001-9081.2025050534

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基于子区域的超多目标进化算法

郭京蕾¹(), 刘诗源¹, 姜守勇²

^1.华中师范大学计算机学院，武汉 430079
^2.中南大学自动化学院，长沙 410083

收稿日期:2025-05-16 修回日期:2025-07-13 接受日期:2025-07-23 发布日期:2025-08-01 出版日期:2026-04-10
通讯作者: 郭京蕾
作者简介:刘诗源（2001—），男，河南周口人，硕士研究生，主要研究方向：计算智能、智能优化
姜守勇（1988—），男，湖北襄阳人，教授，博士，主要研究方向：计算智能、机器学习、生物计算。
基金资助:
国家自然科学基金资助项目(62376288);湖南省自然科学基金资助项目(2024JJ5441)

Subregion-based many-objective evolutionary algorithm

Jinglei GUO¹(), Shiyuan LIU¹, Shouyong JIANG²

^1.School of Computer Science，Central China Normal University，Wuhan Hubei 430079，China
^2.School of Automation，Central South University，Changsha Hunan 410083，China

Received:2025-05-16 Revised:2025-07-13 Accepted:2025-07-23 Online:2025-08-01 Published:2026-04-10
Contact: Jinglei GUO
About author:LIU Shiyuan， born in 2001， M. S. candidate. His research interests include computational intelligence， intelligent optimization.
JIANG Shouyong， born in 1988， Ph. D.， professor. His research interests include computational intelligence， machine learning， biological computing.
Supported by:
National Natural Science Foundation of China(62376288);Natural Science Foundation of Hunan Province(2024JJ5441)

摘要/Abstract

摘要：

针对多目标进化算法（MOEA）求解超多目标优化问题（MaOP）难以平衡收敛性和多样性的困境，提出一种基于子区域的超多目标进化算法（SR-MaOEA）。首先，通过子区域划分策略构建目标空间的分布结构，采用偏移密度估计（SDE）量化子区域密度，并设计一种层级化的子区域支配关系排序策略，以增强个体选择压力。然后，提出一种收敛性与多样性自适应融合的加权选择机制，通过动态计算相邻代子区域加权和的差异评估子区域潜力值，进而优先保留高潜力子区域内的个体更新种群。在MAF基准测试集上，SR-MaOEA与多种主流超多目标进化算法的对比实验的结果表明，在大多数测试问题上，SR-MaOEA在反世代距离（IGD⁺）和超体积（HV）指标上均优于对比算法，验证了该算法在高维目标空间中的有效性和稳定性。

关键词: 超多目标优化问题, 进化算法, 子区域划分, 自适应加权, 密度估计

Abstract:

To address the challenge of balancing convergence and diversity in Multi- Objective Evolutionary Algorithm （MOEA） when solving Many-objective Optimization Problem （MaOP）， a SubRegion-based Many-Objective Evolutionary Algorithm （SR-MaOEA） was proposed. In this algorithm， distribution structure of the objective space was constructed through a subregion partitioning strategy， the subregion density was quantified using Shifted Density Estimation （SDE）， and a hierarchical subregion dominance relation ranking strategy was designed to enhance the selection pressure of individuals. Furthermore， a convergence-diversity adaptively fused weighted selection mechanism was proposed， in which the potential value of each subregion was evaluated by calculating the difference in weighted sums of adjacent generations of subregions dynamically， and then the individuals in subregions with higher potential values were retained preferentially to update the population. Experimental results on the MAF benchmark test set comparing multiple mainstream many-objective evolutionary algorithms show that on most test problems， SR-MaOEA outperforms the comparison algorithms in terms of both Inverted Generational Distance （IGD⁺） and HyperVolume （HV） metrics， thereby demonstrating the effectiveness and robustness of this algorithm in high-dimensional objective spaces.

Key words: Many-objective Optimization Problem (MaOP), Evolutionary Algorithm (EA), subregion partitioning, adaptive weighting, density estimation

中图分类号:

TP301.6

郭京蕾, 刘诗源, 姜守勇. 基于子区域的超多目标进化算法[J]. 计算机应用, 2026, 46(4): 1199-1210.

Jinglei GUO, Shiyuan LIU, Shouyong JIANG. Subregion-based many-objective evolutionary algorithm[J]. Journal of Computer Applications, 2026, 46(4): 1199-1210.

图/表 12

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测试实例	特征	维度（D）
MAF1	倒置、线性型	M-1+10
MAF2	凹形	M-1+10
MAF3	凸形、多模、缩放型	M-1+10
MAF4	倒置、凹形、多模	M-1+10
MAF5	凸形、缩放、不均匀偏移	M-1+10
MAF6	凹形、退化型	M-1+10
MAF7	混合型、不连续、多模	M-1+20
MAF8	倒置、凸形、多模	2
MAF9	线性、多模	2

测试实例	特征	维度（D）
MAF1	倒置、线性型	M-1+10
MAF2	凹形	M-1+10
MAF3	凸形、多模、缩放型	M-1+10
MAF4	倒置、凹形、多模	M-1+10
MAF5	凸形、缩放、不均匀偏移	M-1+10
MAF6	凹形、退化型	M-1+10
MAF7	混合型、不连续、多模	M-1+20
MAF8	倒置、凸形、多模	2
MAF9	线性、多模	2

a	b	M=3	M=5	M=8	M=10	M=15	平均排名
0.1	0.2	5.531 1	6.000 0	5.333 3	3.555 6	6.944 4	5.472 9
0.1	0.5	5.166 7	5.222 2	6.277 8	3.833 3	4.166 7	4.933 3
0.3	0.1	3.833 3	5.333 3	3.166 7	5.388 9	6.111 1	4.766 7
	0.2	5.511 1	5.166 7	5.888 9	5.555 6	6.611 1	5.646 7
	0.5	5.000 0	5.055 6	6.055 6	5.555 6	3.944 4	5.122 2
0.5	0.1	4.633 3	4.611 1	4.277 8	5.666 7	3.888 9	4.615 6
0.5	0.3	4.522 2	3.777 8	3.922 2	5.333 3	3.777 8	4.266 6
0.8	0.1	5.111 0	5.111 1	4.233 6	6.166 7	3.888 9	4.902 2
0.8	0.2	5.500 0	4.722 2	5.722 2	3.944 4	5.666 7	5.111 1

a	b	M=3	M=5	M=8	M=10	M=15	平均排名
0.1	0.2	5.531 1	6.000 0	5.333 3	3.555 6	6.944 4	5.472 9
0.1	0.5	5.166 7	5.222 2	6.277 8	3.833 3	4.166 7	4.933 3
0.3	0.1	3.833 3	5.333 3	3.166 7	5.388 9	6.111 1	4.766 7
	0.2	5.511 1	5.166 7	5.888 9	5.555 6	6.611 1	5.646 7
	0.5	5.000 0	5.055 6	6.055 6	5.555 6	3.944 4	5.122 2
0.5	0.1	4.633 3	4.611 1	4.277 8	5.666 7	3.888 9	4.615 6
0.5	0.3	4.522 2	3.777 8	3.922 2	5.333 3	3.777 8	4.266 6
0.8	0.1	5.111 0	5.111 1	4.233 6	6.166 7	3.888 9	4.902 2
0.8	0.2	5.500 0	4.722 2	5.722 2	3.944 4	5.666 7	5.111 1

问题	M	HV			IGD⁺
问题	M	v1	v2	SR-MaOEA	v1	v2	SR-MaOEA
MAF1	3	1.935 4E-1 -	2.061 0E-1 =	2.061 2E-1	4.945 4E-2 -	3.982 1E-2 =	3.979 1E-2
	5	6.708 9E-3 +	5.144 6E-3 =	5.068 4E-3	1.351 9E-1 +	1.537 1E-1 =	1.552 9E-1
	8	2.290 2E-5 -	2.775 1E-5 -	2.862 2E-5	2.405 9E-1 -	1.806 1E-1 -	1.781 7E-1
	10	2.063 1E-7 -	3.381 8E-7 =	3.223 1E-7	2.714 9E-1 -	2.149 0E-1 =	2.146 8E-1
	15	4.532 5E-12 -	6.636 9E-12 -	6.945 2E-12	2.864 1E-1 -	2.295 8E-1 =	2.303 0E-1
MAF2	3	2.357 3E-1 -	2.378 9E-1=	2.379 9E-1	2.668 0E-2 -	2.351 7E-2 =	2.339 6E-2
	5	1.751 0E-1 -	1.865 4E-1=	1.868 9E-1	8.011 6E-2 -	6.321 2E-2 =	6.289 4E-2
	8	2.021 5E-1 -	2.170 2E-1=	2.178 0E-1	1.434 4E-1 -	9.479 8E-2 =	9.501 8E-2
	10	1.751 0E-1 =	1.766 3E-1 =	1.756 6E-1	1.563 3E-1 -	1.052 5E-1 -	1.047 0E-1
	15	1.711 1E-1 +	1.656 3E-1 =	1.643 2E-1	1.433 6E-1 -	9.888 1E-2 =	9.858 3E-2
MAF3	3	4.443 0E-1 -	7.504 5E-1 -	8.338 8E-1	2.086 6E+0 -	3.584 0E+0 -	2.619 1E-1
	5	1.485 9E-1 -	9.848 3E-1 +	9.839 6E-1	7.627 6E+0 -	3.731 3E-2 =	3.931 3E-2
	8	7.780 8E-2 -	9.961 4E-1 =	9.968 3E-1	2.897 3E+1 -	2.784 6E-2 =	2.754 7E-2
	10	2.444 3E-1 -	9.965 7E-1 -	9.966 3E-1	1.278 6E+1 -	3.273 0E-2 -	3.195 3E-2
	15	0.000 0E+0 -	9.992 8E-1 -	9.996 3E-1	1.920 2E+5 -	3.109 6E-2 =	2.940 4E-2
MAF4	3	4.009 2E-1 -	4.584 7E-1 -	4.605 0E-1	6.362 3E-1 -	3.640 3E-1 =	3.571 1E-1
	5	8.996 3E-2 =	8.039 6E-2 -	8.726 3E-2	2.141 3E+0 -	1.537 3E+0 -	1.222 6E+0
	8	3.095 7E-3 +	2.749 5E-3 +	2.716 4E-3	1.983 0E+1 -	1.387 8E+1 =	1.429 3E+1
	10	1.818 0E-4 +	1.240 2E-4 =	1.130 0E-4	7.874 1E+1 -	5.595 9E+1 +	5.661 9E+1
	15	2.105 8E-7 =	5.499 3E-8 -	1.424 1E-7	1.967 1E+3 -	1.003 9E+3 -	7.440 2E+2
MAF5	3	5.485 7E-1 =	5.470 5E-1 -	5.468 4E-1	9.851 4E-2 =	1.018 9E-1 =	1.021 8E-1
	5	7.854 2E-1 =	7.860 6E-1 +	7.844 7E-1	4.240 9E-1 +	4.355 7E-1 +	4.400 9E-1
	8	9.272 8E-1 +	9.231 9E-1 =	9.231 3E-1	8.850 7E-1 +	9.917 2E-1 -	9.847 8E-1
	10	9.454 8E-1 +	9.432 1E-1 =	9.431 8E-1	1.177 4E+0 +	1.367 2E+0 -	1.352 3E+0
	15	9.902 7E-1 -	9.921 5E-1 =	9.921 7E-1	1.419 9E+0 +	1.654 5E+0 =	1.646 7E+0
MAF6	3	1.713 5E-1 -	1.896 5E-1 -	1.904 9E-1	2.407 5E-2 -	1.135 5E-2 =	1.279 3E-2
	5	1.106 1E-1 -	1.207 1E-1 =	1.217 2E-1	4.027 3E-2 -	1.025 4E-2 -	9.280 3E-3
	8	9.773 0E-2 =	8.959 2E-2 =	7.331 5E-2	5.455 9E-2 +	1.676 0E-1 +	4.455 5E+0
	10	9.386 5E-2 +	5.984 2E-2 +	1.251 3E-2	1.132 8E-1 +	1.675 4E-1 +	1.255 9E+1
	15	7.446 6E-2 +	7.897 1E-3 +	5.026 7E-10	1.851 0E-1 +	8.312 9E-1 +	4.773 3E+0
MAF7	3	2.614 2E-1 -	2.630 3E-1 -	2.710 5E-1	8.570 8E-2 -	8.749 6E-2 -	4.206 3E-2
	5	2.375 2E-1 -	2.552 3E-1 =	2.553 8E-1	2.438 5E-1 -	1.495 2E-1 +	1.524 6E-1
	8	1.961 1E-1 -	2.034 1E-1 -	2.008 2E-1	7.052 7E-1 -	4.285 0E-1 =	4.284 4E-1
	10	1.692 7E-1 -	1.745 5E-1 -	1.760 4E-1	1.207 0E+0 -	8.748 9E-1 =	8.774 4E-1
	15	1.629 9E-1 +	1.480 2E-1 =	1.481 7E-1	4.248 4E+0 -	1.552 2E+0 -	1.479 6E+0
MAF8	3	2.425 4E-1 -	2.503 0E-1 -	2.542 1E-1	8.941 7E-2 -	7.006 4E-2 =	7.386 0E-2
	5	8.832 1E-2 -	1.060 7E-1 =	1.055 7E-1	1.891 6E-1 -	1.088 2E-1 =	1.086 2E-1
	8	1.589 2E-2 -	2.695 7E-2 =	2.637 0E-2	3.547 9E-1 -	1.216 5E-1 =	1.290 5E-1
	10	4.760 8E-3 -	8.077 9E-3 =	8.149 2E-3	4.261 9E-1 -	1.749 4E-1 =	1.782 3E-1
	15	2.906 2E-4 -	5.345 9E-4 +	5.264 8E-4	4.459 5E-1 -	1.534 4E-1 -	1.482 7E-1
MAF9	3	7.997 7E-1 -	8.073 2E-1 -	8.075 8E-1	8.045 8E-2 -	6.078 4E-2 =	6.153 4E-2
	5	2.413 6E-1 -	2.688 3E-1 -	2.703 1E-1	1.851 4E-1 -	1.339 0E-1 +	1.493 0E-1
	8	2.991 9E-2 -	3.179 7E-2 -	3.680 3E-2	2.990 0E-1 -	3.867 2E-1 -	2.412 8E-1
	10	1.009 9E-2 -	1.258 7E-2 =	1.260 3E-2	3.887 7E-1 -	2.135 0E-1 -	2.081 8E-1
	15	8.288 6E-4 =	8.049 6E-4 =	8.253 4E-4	3.001 4E-1 -	2.669 0E-1 -	2.520 3E-1
+/-/=		9/29/7	6/17/22	—	8/36/1	7/15/23	—

基于子区域的超多目标进化算法

Subregion-based many-objective evolutionary algorithm

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Metrics

问题	M	RPD-NSGA-Ⅱ	NSGA-Ⅲ	HEA	TS-NSGA-Ⅱ	PRV-NSGA-Ⅱ	SR-MaOEA
MAF1	3	1.887 2E-1 -	2.050 2E-1 =	1.973 4E-1 -	2.050 4E-1 -	1.946 4E-1 -	2.061 2E-1
	5	5.485 1E-3 +	4.584 9E-3 -	5.778 1E-3 +	6.762 5E-3 +	6.834 4E-3 +	5.068 4E-3
	8	8.255 4E-6 -	2.521 3E-5 -	2.088 7E-5 -	2.035 6E-5 -	2.352 2E-5 -	2.862 2E-5
	10	1.598 7E-8 -	3.049 3E-7 -	2.154 2E-7 -	2.757 9E-7 -	2.083 3E-7 -	3.223 1E-7
	15	8.948 6E-13 -	5.095 0E-13 -	3.346 6E-12 -	4.939 0E-13 -	3.650 9E-12 -	6.945 2E-12
MAF2	3	2.370 5E-1 =	2.375 7E-1 =	2.437 0E-1 +	2.397 8E-1 +	2.356 7E-1 -	2.379 9E-1
	5	1.703 9E-1 -	1.735 6E-1 -	1.760 7E-1 -	1.638 1E-1 -	1.755 7E-1 -	1.868 9E-1
	8	1.879 5E-1 -	2.080 9E-1 -	2.047 0E-1 -	1.973 7E-1 -	2.017 1E-1 -	2.178 0E-1
	10	1.272 1E-1 -	1.612 9E-1 -	1.784 9E-1 +	2.025 0E-1 +	1.745 6E-1 =	1.756 6E-1
	15	1.318 0E-1 -	1.112 8E-1 -	1.762 7E-1 +	1.526 8E-1 -	1.467 1E-1 -	1.643 2E-1
MAF3	3	6.278 8E-1 -	5.854 4E-1 -	7.900 6E-1 -	6.000 0E-1 -	5.815 0E-1 -	8.338 8E-1
	5	8.951 5E-1 -	7.136 1E-1 -	9.901 9E-1 +	9.281 6E-1 -	1.294 1E-1 -	9.839 6E-1
	8	5.737 0E-1 -	7.092 0E-1 -	9.951 0E-1 =	6.904 6E-1 -	4.622 9E-2 -	9.968 3E-1
	10	6.675 2E-1 -	1.302 5E-1 -	9.858 2E-1 -	4.513 6E-1 -	2.212 5E-1 -	9.966 3E-1
	15	0.000 0E+0 -	0.000 0E+0 -	9.856 7E-1 -	8.278 7E-1 -	0.000 0E+0 -	9.996 3E-1
MAF4	3	3.941 5E-1 -	3.024 3E-1 -	4.600 4E-1 =	3.088 5E-1 -	4.532 2E-1 =	4.605 0E-1
	5	7.339 5E-2 -	4.648 5E-2 -	7.220 0E-2 -	5.806 0E-2 -	8.692 1E-2 =	8.726 3E-2
	8	1.088 6E-3 -	2.154 7E-3 -	2.686 4E-3 -	1.719 5E-3 -	2.921 4E-3 =	2.716 4E-3
	10	3.140 4E-6 -	1.503 4E-4 +	1.719 1E-4 +	4.747 8E-5 -	1.743 4E-4 +	1.130 0E-4
	15	0.000 0E+0 -	0.000 0E+0 -	1.774 1E-7 +	1.490 0E-8 -	0.000 0E+0 -	1.424 1E-7
MAF5	3	5.561 2E-1 +	4.697 8E-1 -	3.940 9E-1 -	5.580 9E-1 +	5.480 6E-1 +	5.468 4E-1
	5	7.845 0E-1 =	7.881 0E-1 +	7.347 1E-1 -	7.893 1E-1 +	7.846 8E-1 =	7.844 7E-1
	8	9.235 4E-1 =	9.208 8E-1 -	9.234 6E-1 =	9.223 7E-1 =	9.275 6E-1 +	9.231 3E-1
	10	9.284 3E-1 -	9.430 4E-1 -	9.394 8E-1 -	9.118 4E-1 -	9.430 7E-1 -	9.431 8E-1
	15	9.713 2E-1 -	9.129 5E-1 -	9.916 5E-1 -	9.852 4E-1 -	1.723 8E-1 -	9.921 7E-1
MAF6	3	1.703 3E-1 -	1.931 6E-1 =	1.819 2E-1 -	1.890 5E-1 -	1.726 8E-1 -	1.904 9E-1
	5	1.135 9E-1 -	1.231 6E-1 =	1.110 6E-1 -	1.181 3E-1 -	1.099 2E-1 -	1.217 2E-1
	8	9.709 9E-2 +	7.221 3E-2 =	9.209 4E-2 =	1.011 3E-1 =	9.785 4E-2 +	7.331 5E-2
	10	9.391 4E-2 +	3.964 5E-2 +	8.140 9E-2 +	9.433 9E-2 +	9.358 8E-2 +	1.251 3E-2
	15	1.712 7E-2 +	0.000 0E+0 -	1.204 6E-2 +	8.720 3E-2 +	0.000 0E+0 -	5.026 7E-10
MAF7	3	2.672 2E-1 -	2.630 7E-1 -	2.559 3E-1 -	2.684 0E-1 -	2.607 2E-1 -	2.710 5E-1
	5	2.470 7E-1 -	2.382 1E-1 -	2.324 1E-1 -	2.335 8E-1 -	2.388 6E-1 -	2.553 8E-1
	8	1.889 8E-1 -	1.940 4E-1 -	1.896 2E-1 -	1.908 0E-1 -	1.967 8E-1 -	2.008 2E-1
	10	1.629 4E-1 -	1.325 7E-1 -	1.721 1E-1 =	1.525 0E-1 -	1.676 3E-1 -	1.760 4E-1
	15	0.000 0E+0 -	0.000 0E+0 -	1.452 5E-1 -	1.549 0E-1 +	0.000 0E+0 -	1.481 7E-1
MAF8	3	2.358 6E-1 -	2.513 8E-1 -	1.956 0E-1 -	2.435 9E-1 -	2.439 7E-1 -	2.542 1E-1
	5	8.539 4E-2 -	9.874 9E-2 -	9.225 8E-2 -	1.020 2E-1 -	9.165 1E-2 -	1.055 7E-1
	8	1.767 2E-2 -	2.512 0E-2 -	2.379 5E-2 -	2.385 2E-2 -	1.593 5E-2 -	2.637 0E-2
	10	5.519 0E-3 -	7.778 2E-3 -	6.885 0E-3 -	7.442 4E-3 -	4.883 0E-3 -	8.149 2E-3
	15	1.335 2E-4 -	3.220 7E-5 -	5.108 9E-4 -	4.489 1E-4 -	9.417 7E-5 -	5.264 8E-4
MAF9	3	6.799 1E-1 -	8.254 6E-1 +	6.898 3E-1 -	6.673 4E-1 -	8.005 5E-1 -	8.075 8E-1
	5	2.165 8E-1 -	1.639 9E-1 -	2.758 4E-1 +	2.301 8E-1 -	2.421 6E-1 -	2.703 1E-1
	8	2.541 1E-2 -	1.397 8E-2 -	4.137 8E-2 +	2.445 8E-2 -	3.033 4E-2 -	3.680 3E-2
	10	6.823 7E-3 -	3.711 1E-3 -	1.152 4E-2 -	2.948 6E-3 -	1.014 7E-2 -	1.260 3E-2
	15	6.986 0E-5 -	1.811 1E-6 -	7.976 9E-4 -	7.792 2E-4 -	1.258 8E-4 -	8.253 4E-4
+/-/=		5/37/3	4/36/5	10/30/5	7/36/2	6/34/5	—
平均排名		4.38	4.11	3.16	3.51	3.78	1.91

问题	M	RPD-NSGA-Ⅱ	NSGA-Ⅲ	HEA	TS-NSGA-Ⅱ	PRV-NSGA-Ⅱ	SR-MaOEA
MAF1	3	5.533 6E-2 -	4.296 6E-2 -	5.199 1E-2 -	4.480 3E-2 -	4.875 1E-2 -	3.979 1E-2
	5	1.482 5E-1 +	1.660 8E-1 -	1.317 9E-1 +	1.233 2E-1 +	1.335 6E-1 +	1.552 9E-1
	8	2.800 5E-1 -	2.182 0E-1 -	2.301 4E-1 -	2.398 8E-1 -	2.395 5E-1 -	1.781 7E-1
	10	3.666 1E-1 -	2.461 1E-1 -	2.613 7E-1 -	2.576 9E-1 -	2.693 0E-1 -	2.146 8E-1
	15	3.350 1E-1 -	3.228 6E-1 -	2.716 4E-1 -	3.474 3E-1 -	2.925 3E-1 -	2.303 0E-1
MAF2	3	2.450 9E-2 -	2.396 7E-2 -	2.184 3E-2 +	2.523 1E-2 -	2.661 2E-2 -	2.339 6E-2
	5	7.644 1E-2 -	7.165 6E-2 -	7.215 4E-2 -	8.365 4E-2 -	7.943 0E-2 -	6.289 4E-2
	8	1.269 9E-1 -	1.352 5E-1 -	1.013 5E-1 -	1.030 9E-1 -	1.436 2E-1 -	9.501 8E-2
	10	1.348 9E-1 -	1.397 8E-1 -	1.218 8E-1 -	1.079 1E-1 -	1.559 7E-1 -	1.047 0E-1
	15	1.382 3E-1 -	1.649 6E-1 -	1.064 7E-1 -	1.084 9E-1 -	1.419 7E-1 -	9.858 3E-2
MAF3	3	8.570 4E-1 -	8.017 6E-1 -	3.103 0E-1 -	1.472 0E+0 -	1.019 2E+0 -	2.619 1E-1
	5	2.316 3E-1 -	1.961 3E+0 -	5.000 0E-2 -	1.338 3E-1 -	9.395 5E+0 -	3.931 3E-2
	8	4.385 5E-1 -	2.021 0E+3 -	3.749 5E-2 =	3.125 0E-1 -	8.974 9E+0 -	2.754 7E-2
	10	3.491 7E-1 -	1.427 0E+3 -	6.558 5E-2 -	4.390 1E+0 -	4.819 7E+0 -	3.195 3E-2
	15	6.760 3E+5 -	5.944 8E+4 -	6.304 6E-2 -	4.607 8E-1 -	6.770 8E+5 -	2.940 4E-2
MAF4	3	6.179 4E-1 -	1.369 0E+0 -	5.268 7E-1 -	1.043 2E+0 -	4.191 8E-1 -	3.571 1E-1
	5	1.866 3E+0 -	3.510 7E+0 -	1.230 8E+0 -	1.883 4E+0 -	2.157 7E+0 -	1.222 6E+0
	8	3.197 2E+1 -	1.762 0E+1 -	1.085 4E+1+	2.306 8E+1 -	2.035 6E+1 -	1.429 3E+1
	10	1.344 7E+2 -	6.919 2E+1 -	4.562 8E+1 +	8.313 7E+1 -	7.819 8E+1 -	5.661 9E+1
	15	2.028 5E+5 -	6.208 1E+5 -	7.479 8E+2 -	1.720 3E+3 -	2.034 7E+5 -	7.440 2E+2
MAF5	3	8.646 7E-2 +	5.543 6E-1 -	1.061 9E+0 -	8.351 3E-2 +	9.907 7E-2 +	1.021 8E-1
	5	4.242 2E-1 +	4.086 5E-1 +	6.934 2E-1 -	4.188 4E-1 +	4.208 3E-1 +	4.400 9E-1
	8	9.182 6E-1 +	9.084 7E-1 +	8.984 3E-1 +	9.546 1E-1 +	8.740 2E-1 +	9.847 8E-1
	10	1.573 4E+0 -	1.147 0E+0 +	1.160 1E+0 +	1.325 9E+0 =	1.315 8E+0 +	1.352 3E+0
	15	1.700 4E+0 =	1.731 7E+0 =	1.316 4E+0 +	1.467 5E+0 +	3.066 0E+0 -	1.646 7E+0
MAF6	3	3.220 8E-2 -	7.090 8E-3 +	1.561 3E-2 -	1.077 3E-2 =	2.460 0E-2 -	1.279 3E-2
	5	4.646 2E-2 -	2.320 1E-2 -	4.075 1E-2 -	3.126 9E-2 -	3.927 1E-2 -	9.280 3E-3
	8	4.758 4E-2 +	1.814 4E-1 +	5.074 9E-2 +	4.221 0E-2 +	4.854 6E-2 +	4.455 5E+0
	10	1.169 2E-1 +	1.486 1E-1 +	7.586 9E-2 +	9.314 0E-2 +	1.012 8E-1 +	1.255 9E+1
	15	6.332 1E-1 +	6.101 7E+0 -	3.482 8E-1 +	1.928 8E-1 +	1.458 1E+0 +	4.773 3E+0
MAF7	3	6.282 0E-2 -	6.956 0E-2 -	1.438 8E-1 -	6.224 7E-2 -	7.790 2E-2 -	4.206 3E-2
	5	1.849 5E-1 -	1.772 4E-1 -	3.944 0E-1 -	1.675 7E-1 -	2.413 2E-1 -	1.524 6E-1
	8	6.043 0E-1 -	3.872 2E-1 +	1.593 7E+0 -	6.530 6E-1 -	6.753 8E-1 -	4.284 4E-1
	10	1.305 6E+0 -	9.707 2E-1 -	2.118 9E+0 -	1.544 2E+0 -	1.275 3E+0 -	8.774 4E-1
	15	1.862 1E+1 -	2.384 0E+1 -	5.049 1E+0 -	6.548 3E+0 -	2.385 8E+1 -	1.479 6E+0
MAF8	3	1.085 7E-1 -	8.511 1E-2 -	2.329 2E-1 -	1.031 9E-1 -	8.716 1E-2 -	7.386 0E-2
	5	1.924 4E-1 -	1.253 6E-1 -	2.683 1E-1 -	1.238 9E-1 -	1.766 1E-1 -	1.086 2E-1
	8	3.380 7E-1 -	1.967 1E-1 -	1.902 2E-1 -	1.668 5E-1 -	3.651 2E-1 -	1.290 5E-1
	10	4.247 7E-1 -	2.492 5E-1 -	2.021 9E-1 -	1.737 4E-1 =	4.153 1E-1 -	1.782 3E-1
	15	1.403 3E+0 -	3.052 3E+0 -	1.159 5E-1 +	2.030 3E-1 -	2.095 5E+0 -	1.482 7E-1
MAF9	3	1.872 9E-1 -	5.390 0E-2 +	1.455 8E+0 -	2.110 7E-1 -	8.010 8E-2 -	6.153 4E-2
	5	2.198 0E-1 -	3.961 9E-1 -	5.241 6E-1 -	2.241 1E-1 -	1.822 1E-1 -	1.493 0E-1
	8	4.126 1E-1 -	1.233 7E+0 -	1.446 7E-1 +	3.360 2E-1 -	2.912 0E-1 -	2.412 8E-1
	10	5.829 1E-1 -	1.012 7E+0 -	2.106 5E-1 -	1.507 7E+0 -	3.857 8E-1 -	2.081 8E-1
	15	7.268 2E+0 -	1.594 8E+1 -	1.353 5E+0 -	6.207 8E-1 -	7.308 8E+0 -	2.520 3E-1
+/-/=		7/37/1	8/36/1	12/32/1	8/35/2	8/37/0	—
平均排名		4.33	3.87	3.13	3.33	4.29	2.02

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目标数（M）	种群大小（N）	停止准则（MaxFEs）/10⁴
3	91	3
5	126	5
8	156	8
10	200	10
15	240	15

目标数（M）	种群大小（N）	停止准则（MaxFEs）/10⁴
3	91	3
5	126	5
8	156	8
10	200	10
15	240	15