基于耦合干扰与协方差进化改进的河马优化算法

doi:10.11772/j.issn.1001-9081.2025081050

《计算机应用》唯一官方网站 ›› 2026, Vol. 46 ›› Issue (10): 3260-3271.DOI: 10.11772/j.issn.1001-9081.2025081050

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基于耦合干扰与协方差进化改进的河马优化算法

刘苗苗¹^,², 席佳豪¹(), 张强¹, 郭景峰³, 史文祥¹

^1.东北石油大学计算机与信息技术学院，黑龙江大庆 163318
^2.东北石油大学三亚海洋油气研究院，海南三亚 572025
^3.燕山大学信息科学与工程学院，河北秦皇岛 066004

收稿日期:2025-09-11 修回日期:2025-11-10 接受日期:2025-11-17 发布日期:2025-11-27 出版日期:2026-10-10
通讯作者: 席佳豪
作者简介:刘苗苗（1982—），女，河南洛阳人，教授，博士，CCF会员，主要研究方向：数据挖掘、油气大数据分析、群体智能算法
张强（1982—），男，重庆人，教授，博士，CCF会员，主要研究方向：计算智能、群体智能算法
郭景峰（1962—），男，黑龙江齐齐哈尔人，教授，博士，CCF会员，主要研究方向：数据挖掘、复杂网络建模
史文祥（2002—），男，安徽宿州人，硕士研究生，主要研究方向：不平衡数据。
基金资助:
国家自然科学基金资助项目(42002138);河北省自然科学基金资助项目(D2023107002);黑龙江省博士后科研启动金资助项目(LBH-Q20073);黑龙江省优秀青年教师基础研究支持计划项目(SJGZB2024088)

Improved hippopotamus optimization algorithm based on coupling interference and covariance evolution

Miaomiao LIU¹^,², Jiahao XI¹(), Qiang ZHANG¹, Jingfeng GUO³, Wenxiang SHI¹

^1.School of Computer and Information Technology，Northeast Petroleum University，Daqing Heilongjiang 163318，China
^2.Sanya Offshore Oil and Gas Research Institute，Northeast Petroleum University，Sanya Hainan 572025，China
^3.School of Information Science and Engineering，Yanshan University，Qinhuangdao Hebei 066004，China

Received:2025-09-11 Revised:2025-11-10 Accepted:2025-11-17 Online:2025-11-27 Published:2026-10-10
Contact: Jiahao XI
About author:LIU Miaomiao， born in 1982， Ph. D.， professor. Her research interests include data mining， oil and gas big data analysis， swarm intelligence algorithms.
ZHANG Qiang， born in 1982， Ph. D.， professor. His research interests include computational intelligence， swarm intelligence algorithms.
GUO Jingfeng， born in 1962， Ph. D.， professor. His research interests include data mining， complex network modeling.
SHI Wenxiang， born in 2002， M. S. candidate. His research interests include imbalanced data.
Supported by:
National Natural Science Foundation of China(42002138);Natural Science Foundation of Hebei Province(D2023107002);Postdoctoral Scientific Research Start-up Fund of Heilongjiang Province(LBH-Q20073);Basic Research Support Program for Outstanding Young Teachers of Heilongjiang Province(SJGZB2024088)

摘要/Abstract

摘要：

针对河马优化（HO）算法在初始化阶段种群分布不均、复杂搜索空间中易陷入局部最优和后期开发阶段寻优能力不足的问题，提出基于拉丁超立方采样、神经种群动态优化的耦合干扰与协方差矩阵适应性的改进HO算法（LNC_HO）。首先，在初始化阶段，采用拉丁超立方采样优化初始种群分布，提高种群多样性和全局覆盖范围；其次，在探索阶段，融合耦合干扰策略强化算法在高维空间中的全局搜索能力，降低陷入局部最优的风险；最后，在开发阶段，引入协方差矩阵适应性进化策略（CMA-ES），自适应调整协方差矩阵及步长参数，增强算法对搜索空间结构的动态适应能力，提升迭代后期局部搜索的收敛速度与精度。在CEC2017多类型的12个基准测试函数上，与7种主流群智能算法的对比实验结果表明，LNC_HO的最优适应度值排名最高；相较于HO算法，LNC_HO的收敛精度提升了42.22%，标准差降低了27.37%，表明LNC_HO具有较好的收敛性和稳定性，验证了改进策略的有效性。将LNC_HO应用于压力容器设计工程优化问题，在30次独立运行中相较于HO算法成本降低了8.28%，验证了算法在实际工程问题中的应用价值。

关键词: 河马优化算法, 拉丁超立方采样, 耦合干扰策略, 协方差矩阵适应性进化策略, 群智能算法

Abstract:

To address the issues of uneven population distribution in the initialization phase， susceptibility to the local optimum in complex search space， and insufficient optimization capability in the later exploitation phase of Hippopotamus Optimization （HO） algorithm， an improved HO algorithm based on Latin hypercube sampling， Neural population dynamic optimization with coupled interference and Covariance matrix adaptation （LNC_HO） was proposed. First， in the initialization phase， Latin hypercube sampling was employed to optimize the initial population distribution， thereby enhancing population diversity and global coverage. Second， in the exploration phase， a coupled interference strategy was combined to strengthen the algorithm’s global search capability in high-dimensional space， thereby reducing the risk of falling into the local optimum. Finally， in the exploitation phase， a Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy （CMA-ES） was introduced to adjust the covariance matrix and step-size parameters adaptively， thereby enhancing the algorithm’s dynamic adaptability to search space structures and improving both convergence speed and accuracy in the late-stage local search. Experimental results on twelve multi-type benchmark functions in CEC2017， compared with seven mainstream swarm intelligence algorithms， show that LNC_HO ranks first in terms of optimal fitness value， and achieves an improvement of 42.22% in convergence accuracy and reduces standard deviation by 27.37% compared to the HO algorithm， indicating its superior convergence performance and stability， thereby validating the effectiveness of the improvement strategies. When LNC_HO is applied to the pressure vessel design engineering optimization problem， it achieves a cost reduction of 8.28% compared to the HO algorithm in 30 independent runs， validating its practical value in real-world engineering applications.

Key words: Hippopotamus Optimization (HO) algorithm, Latin hypercube sampling, coupling interference strategy, Covariance Matrix Adaption Evolution Strategy (CMA-ES), swarm intelligence algorithm

中图分类号:

TP301.6

刘苗苗, 席佳豪, 张强, 郭景峰, 史文祥. 基于耦合干扰与协方差进化改进的河马优化算法[J]. 计算机应用, 2026, 46(10): 3260-3271.

Miaomiao LIU, Jiahao XI, Qiang ZHANG, Jingfeng GUO, Wenxiang SHI. Improved hippopotamus optimization algorithm based on coupling interference and covariance evolution[J]. Journal of Computer Applications, 2026, 46(10): 3260-3271.

图/表 16

图1 基于耦合干扰策略的位置更新

Fig. 1 Location updating based on coupling interference strategy

图2 LNC_HO的流程

Fig. 2 Flow of LNC_HO

表1 不同参数组合下LNC_HO的方差分析结果（50维）

Tab. 1 Variance analysis results of LNC_HO under different parameter combinations （50 dimension）

参数	sum_sq	df	F	PR（>F）
C（SearchAgents）	1.08E+12	3	20.41	1.39×10^-12
C（CMA_Update_Interval）	4.01E+12	3	75.72	2.66×10^-41
C（D_Value）	4.35E+10	3	0.82	0.48
C（SearchAgents）：C（CMA_Update_Interval）	9.61E+11	9	6.05	3.89
C（SearchAgents）：C（D_Value）	2.16E+11	9	1.36	0.20
C（CMA_Update_Interval）：C（D_Value）	7.57E+10	9	0.48	0.89
C（SearchAgents）：C（CMA_Update_Interval）：C（D_Value）	7.79E+11	27	1.63	0.02
残差项（Residual）	1.02E+13	576

图3 不同参数组合下CEC2017的4类基准测试函数的等高线图（50维）

Fig. 3 Contour plots of four types of CEC2017 benchmark functions under different parameter combinations （50 dimension）

表2 对比算法的参数设置

Tab. 2 Parameter settings of comparative algorithms

算法	参数	含义	取值
CMA-ES	$c 1$	个体学习因子	1.0
WOA	$c 2$	社会学习因子	1.0
HHO	$σ H H O$	初始步长系数	0.3
COA	$μ C O A$	选择父代数量	50.0
HO	$p$	位置更新选择概率	0.5
IHO1	$E 1$	能量平衡控制参数	2.0
IHO2	$S$	探索权重系数	0.3

表2 对比算法的参数设置

Tab. 2 Parameter settings of comparative algorithms

算法	参数	含义	取值
CMA-ES	$c 1$	个体学习因子	1.0
WOA	$c 2$	社会学习因子	1.0
HHO	$σ H H O$	初始步长系数	0.3
COA	$μ C O A$	选择父代数量	50.0
HO	$p$	位置更新选择概率	0.5
IHO1	$E 1$	能量平衡控制参数	2.0
IHO2	$S$	探索权重系数	0.3

表3 不同算法在CEC2017的4类基准测试函数上的性能对比（50维）

Tab. 3 Performance comparison of different algorithms on four types of CEC2017 benchmark functions （50 dimension）

函数	CMA-ES			WOA			HHO			COA
函数	Best Rank	STD	MEAN	Best Rank	STD	MEAN	Best Rank	STD	MEAN	Best Rank	STD	MEAN
f1	6	1.59E+11	4.89E+11	4	2.79E+09	6.69E+09	8	9.33E+10	7.24E+11	7	3.09E+10	4.13E+11
f3	4	5.16E+04	1.82E+05	5	3.06E+04	1.38E+05	8	2.74E+04	2.28E+05	7	1.30E+04	1.61E+05
f4	6	5.55E+03	6.28E+03	4	1.56E+02	5.76E+02	8	3.09E+03	1.57E+04	7	1.00E+03	9.21E+03
f8	7	5.18E+01	5.11E+02	5	4.82E+01	4.24E+02	8	4.49E+01	6.40E+02	6	4.63E+01	4.79E+02
f9	5	6.45E+03	2.12E+04	7	4.52E+03	2.05E+04	8	9.49E+03	3.50E+04	6	1.83E+03	1.41E+04
f10	5	5.51E+02	9.26E+03	6	1.05E+03	9.45E+03	8	6.73E+02	1.31E+04	7	1.60E+03	1.18E+04
f14	2	6.91E+05	1.08E+06	5	6.57E+05	1.09E+06	8	8.39E+06	9.57E+06	4	9.73E+05	1.10E+06
f16	5	3.82E+02	3.21E+03	6	6.24E+02	3.68E+03	8	6.23E+02	4.84E+03	7	6.08E+02	3.75E+03
f17	6	1.83E+03	3.41E+03	7	4.62E+02	2.36E+03	8	2.21E+03	4.68E+03	5	2.64E+02	2.00E+03
f25	6	1.04E+03	4.08E+03	4	6.66E+01	8.63E+02	8	1.03E+03	8.00E+03	7	7.11E+02	5.36E+03
f28	5	1.33E+03	3.71E+03	4	2.44E+02	1.40E+03	8	9.12E+02	6.17E+03	6	9.06E+02	3.30E+03
f29	2	2.97E+02	2.52E+03	7	8.96E+02	5.31E+03	8	4.05E+03	1.24E+04	5	1.36E+03	5.24E+03
函数	HO			IHO1			IHO2			LNC_HO
函数	Best Rank	STD	MEAN	Best Rank	STD	MEAN	Best Rank	STD	MEAN	Best Rank	STD	MEAN
f1	2	4.98E+05	1.25E+06	5	1.61E+10	8.30E+10	3	8.29E+05	1.89E+06	1	1.73E+03	4.42E+03
f3	3	9.80E+03	6.65E+04	6	1.08E+04	1.44E+05	2	7.35E+03	6.02E+04	1	1.89E+03	2.29E+04
f4	3	4.29E+01	2.74E+02	5	3.17E+02	1.44E+03	2	8.32E+01	3.22E+02	1	4.43E+01	2.01E+02
f8	2	3.87E+01	2.94E+02	3	2.59E+01	3.23E+02	4	2.58E+01	3.32E+02	1	2.90E+01	2.12E+02
f9	2	1.21E+03	1.14E+04	4	2.30E+03	1.47E+04	3	9.64E+02	1.22E+04	1	1.61E+03	7.11E+03
f10	3	6.65E+02	7.28E+03	4	4.45E+02	7.23E+03	2	7.40E+02	6.97E+03	1	9.81E+02	6.16E+03
f14	3	3.62E+05	7.16E+05	6	9.86E+05	1.05E+06	7	3.17E+05	6.45E+05	1	2.77E+04	5.17E+04
f16	2	5.84E+02	2.26E+03	3	4.27E+02	2.19E+03	4	3.50E+02	2.37E+03	1	5.04E+02	2.01E+03
f17	3	2.18E+02	1.68E+03	4	1.52E+02	1.67E+03	2	3.54E+02	1.64E+03	1	3.26E+02	1.33E+03
f25	3	5.05E+01	7.27E+02	5	9.04E+01	1.25E+03	2	6.64E+01	7.06E+02	1	2.29E+01	5.45E+02
f28	3	1.89E+02	9.92E+02	7	1.07E+02	2.24E+03	2	1.50E+02	8.25E+02	1	5.05E+01	5.86E+02
f29	6	4.95E+02	4.09E+03	3	2.17E+02	3.24E+03	4	3.05E+02	3.86E+03	1	3.53E+02	2.32E+03

表3 不同算法在CEC2017的4类基准测试函数上的性能对比（50维）

Tab. 3 Performance comparison of different algorithms on four types of CEC2017 benchmark functions （50 dimension）

函数	CMA-ES			WOA			HHO			COA
函数	Best Rank	STD	MEAN	Best Rank	STD	MEAN	Best Rank	STD	MEAN	Best Rank	STD	MEAN
f1	6	1.59E+11	4.89E+11	4	2.79E+09	6.69E+09	8	9.33E+10	7.24E+11	7	3.09E+10	4.13E+11
f3	4	5.16E+04	1.82E+05	5	3.06E+04	1.38E+05	8	2.74E+04	2.28E+05	7	1.30E+04	1.61E+05
f4	6	5.55E+03	6.28E+03	4	1.56E+02	5.76E+02	8	3.09E+03	1.57E+04	7	1.00E+03	9.21E+03
f8	7	5.18E+01	5.11E+02	5	4.82E+01	4.24E+02	8	4.49E+01	6.40E+02	6	4.63E+01	4.79E+02
f9	5	6.45E+03	2.12E+04	7	4.52E+03	2.05E+04	8	9.49E+03	3.50E+04	6	1.83E+03	1.41E+04
f10	5	5.51E+02	9.26E+03	6	1.05E+03	9.45E+03	8	6.73E+02	1.31E+04	7	1.60E+03	1.18E+04
f14	2	6.91E+05	1.08E+06	5	6.57E+05	1.09E+06	8	8.39E+06	9.57E+06	4	9.73E+05	1.10E+06
f16	5	3.82E+02	3.21E+03	6	6.24E+02	3.68E+03	8	6.23E+02	4.84E+03	7	6.08E+02	3.75E+03
f17	6	1.83E+03	3.41E+03	7	4.62E+02	2.36E+03	8	2.21E+03	4.68E+03	5	2.64E+02	2.00E+03
f25	6	1.04E+03	4.08E+03	4	6.66E+01	8.63E+02	8	1.03E+03	8.00E+03	7	7.11E+02	5.36E+03
f28	5	1.33E+03	3.71E+03	4	2.44E+02	1.40E+03	8	9.12E+02	6.17E+03	6	9.06E+02	3.30E+03
f29	2	2.97E+02	2.52E+03	7	8.96E+02	5.31E+03	8	4.05E+03	1.24E+04	5	1.36E+03	5.24E+03
函数	HO			IHO1			IHO2			LNC_HO
函数	Best Rank	STD	MEAN	Best Rank	STD	MEAN	Best Rank	STD	MEAN	Best Rank	STD	MEAN
f1	2	4.98E+05	1.25E+06	5	1.61E+10	8.30E+10	3	8.29E+05	1.89E+06	1	1.73E+03	4.42E+03
f3	3	9.80E+03	6.65E+04	6	1.08E+04	1.44E+05	2	7.35E+03	6.02E+04	1	1.89E+03	2.29E+04
f4	3	4.29E+01	2.74E+02	5	3.17E+02	1.44E+03	2	8.32E+01	3.22E+02	1	4.43E+01	2.01E+02
f8	2	3.87E+01	2.94E+02	3	2.59E+01	3.23E+02	4	2.58E+01	3.32E+02	1	2.90E+01	2.12E+02
f9	2	1.21E+03	1.14E+04	4	2.30E+03	1.47E+04	3	9.64E+02	1.22E+04	1	1.61E+03	7.11E+03
f10	3	6.65E+02	7.28E+03	4	4.45E+02	7.23E+03	2	7.40E+02	6.97E+03	1	9.81E+02	6.16E+03
f14	3	3.62E+05	7.16E+05	6	9.86E+05	1.05E+06	7	3.17E+05	6.45E+05	1	2.77E+04	5.17E+04
f16	2	5.84E+02	2.26E+03	3	4.27E+02	2.19E+03	4	3.50E+02	2.37E+03	1	5.04E+02	2.01E+03
f17	3	2.18E+02	1.68E+03	4	1.52E+02	1.67E+03	2	3.54E+02	1.64E+03	1	3.26E+02	1.33E+03
f25	3	5.05E+01	7.27E+02	5	9.04E+01	1.25E+03	2	6.64E+01	7.06E+02	1	2.29E+01	5.45E+02
f28	3	1.89E+02	9.92E+02	7	1.07E+02	2.24E+03	2	1.50E+02	8.25E+02	1	5.05E+01	5.86E+02
f29	6	4.95E+02	4.09E+03	3	2.17E+02	3.24E+03	4	3.05E+02	3.86E+03	1	3.53E+02	2.32E+03

图4 不同算法在CEC2017的4类基准函数上的迭代收敛曲线（50维）

Fig. 4 Iterative convergence curves of different algorithms on four types of CEC2017 benchmark functions （50 dimension）

图5 不同算法在CEC2017的4类基准函数上的箱线图（50维）

Fig. 5 Box plots of different algorithms on four types of CEC2017 benchmark functions （50 dimension）

图6 算法搜索轨迹的分布（30维）

Fig. 6 Distribution of algorithm search trajectories （30 dimension）

图7 种群分散度分布的演化图（30维）

Fig. 7 Evolution plot of population dispersion distribution （30 dimension）

表4 M=12时算法求解CEC2017基准测试函数的Friedman检验结果（50维）

Tab. 4 Friedman test results of algorithms on CEC2017 benchmark functions with M=12 （50 dimension）

算法	Rank	Chi‑square	P值
CMA-ES	5.971	83.6	9.19×10^-15
WOA	5.167
HHO	8.000
COA	6.167
HO	3.971
IHO1	2.971
IHO2	2.667
LNC_HO	1.250

表5 M=12时LNC_HO与对比算法的Nemenyi后续检验结果（50维）

Tab. 5 Nemenyi post-hoc test results between LNC_HO and comparative algorithms with M=12 （50 dimension）

算法	平均秩差	显著性（CD大于3.03）
CMA-ES	4.667	T
WOA	3.917	T
HHO	6.750	T
COA	4.917	T
HO	3.667	T
IHO1	2.667	F
IHO2	2.417	F

表6 M=12时LNC_HO与对比算法的Wilcoxon符号秩检验性能评估（50维）

Tab. 6 Performance evaluation using Wilcoxon signed-rank test between LNC_HO and comparative algorithms with M=12 （50 dimension）

算法	+	-	Z	P值	γ=0.05	γ=0.10
CMA-ES	12	0	0	4.88×10^-4	显著	显著
WOA	12	0	0	4.88×10^-4	显著	显著
HHO	12	0	0	4.88×10^-4	显著	显著
COA	12	0	0	4.88×10^-4	显著	显著
HO	11	1	1	9.77×10^-4	显著	显著
IHO1	11	1	3	2.44×10^-3	显著	显著
IHO2	11	1	5	4.88×10^-3	显著	显著

表7 LNC_HO各组件在CEC2017基准测试函数上的结果（50维）

Tab. 7 Results of LNC_HO components on the CEC2017 benchmark functions （50 dimension）

序号	组件	单峰、多峰函数			混合函数			组合函数
序号	组件	f1	f3	f4	f11	f14	f18	f21	f22	f25
V1	基础HO	1.28E+06	4.34E+05	1.68E+03	5.03E+02	3.75E+05	6.55E+05	4.49E+03	8.97E+03	6.89E+02
V2	移除拉丁超立方采样	6.70E+05	4.59E+04	2.05E+02	4.05E+02	1.95E+05	1.71E+05	3.77E+02	7.49E+03	5.87E+02
V3	移除耦合干扰策略	1.26E+06	4.91E+04	1.81E+02	3.20E+02	2.60E+05	4.55E+05	4.85E+02	6.92E+03	5.73E+02
V4	移除CMA-ES	1.27E+06	4.60E+04	1.93E+02	4.12E+02	7.60E+04	1.50E+05	4.25E+02	7.03E+03	5.92E+02
V5	LNC_HO	1.56E+03	2.34E+04	1.67E+02	2.18E+02	3.61E+03	1.06E+05	3.61E+02	6.04E+03	5.31E+02

图8 压力容器设计示意图

Fig. 8 Schematic diagram of pressure vessel design

表8 压力容器设计问题的最优解及性能对比

Tab. 8 Optimal solutions and performance comparison in pressure vessel design problem

算法	Ts	Th	R	L	Best	AVG	STD	排名
LNC_HO	0.812 5	0.437 5	42.10	176.64	6.06E+03	6.09E+03	5.91E+01	1
COA	0.812 5	0.437 5	41.96	178.40	6.08E+03	6.18E+03	1.04E+02	2
HO	0.875 0	0.437 5	45.34	140.25	6.09E+03	6.64E+03	3.66E+02	3
IHO2	0.875 0	0.437 5	45.34	140.25	6.09E+03	6.69E+03	2.68E+02	4
WOA	0.875 0	0.437 5	44.62	147.75	6.17E+03	7.09E+03	5.91E+02	5
IHO1	0.812 5	0.437 5	41.09	189.54	6.19E+03	6.59E+03	2.08E+02	6
HHO	0.937 5	0.500 0	48.36	111.90	6.39E+03	9.32E+03	2.56E+03	7
CMA-ES	0.937 5	0.500 0	46.81	125.97	6.55E+03	7.79E+03	6.43E+03	8

参考文献 20

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基于耦合干扰与协方差进化改进的河马优化算法

Improved hippopotamus optimization algorithm based on coupling interference and covariance evolution

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