基于自适应竞争学习的教与学优化算法

doi:10.11772/j.issn.1001-9081.2023010025

《计算机应用》唯一官方网站 ›› 2023, Vol. 43 ›› Issue (12): 3868-3874.DOI: 10.11772/j.issn.1001-9081.2023010025

基于自适应竞争学习的教与学优化算法

王培崇¹, 冯浩婧¹, 李丽荣²()

^1.河北地质大学信息工程学院，石家庄 050031
^2.河北地质大学艺术学院，石家庄 050031

收稿日期:2023-01-11 修回日期:2023-04-30 接受日期:2023-05-15 发布日期:2023-12-11 出版日期:2023-12-10
通讯作者: 李丽荣
作者简介:王培崇（1972—），男，河北辛集人，教授，博士，CCF会员，主要研究方向：群体智能、计算机视觉
冯浩婧（1997—），女，河北唐山人，硕士研究生，CCF会员，主要研究方向：群体智能、计算机视觉；
基金资助:
河北省社会科学基金资助项目(HB21GL050);河北省高等学校科学技术研究项目(ZD2020344)

Improved TLBO algorithm with adaptive competitive learning

Peichong WANG¹, Haojing FENG¹, Lirong LI²()

^1.School of Information Engineering，Hebei GEO University，Shijiazhuang Hebei 050031，China
^2.College of Arts，Hebei GEO University，Shijiazhuang Hebei 050031，China

Received:2023-01-11 Revised:2023-04-30 Accepted:2023-05-15 Online:2023-12-11 Published:2023-12-10
Contact: Lirong LI
About author:WANG Peichong， born in 1972， Ph. D.， professor. His research interests include swarm intelligence， computer vision.
FENG Haojing， born in 1997， M. S. candidate. Her research interests include swarm intelligence， computer vision.
Supported by:
Hebei Social Science Foundation(HB21GL050);Hebei Science and Technology Research Project for Higher Education Institutions(ZD2020344)

摘要/Abstract

摘要：

针对求解较高维度优化问题时教与学优化（TLBO）算法容易出现早熟、解精度降低等问题，提出一种自适应竞争学习教与学优化算法（ITLBOAC）。首先，在“教”算子中引入非线性变化的权重参数，以决定当前个体自身状态的保持能力以及调整当前个体向教师学习的态度，从而使当前个体在早期更多地向教师学习，以迅速提升自身状态，而后期更多地保持自身状态，以减缓教师对它的影响；其次，以生态学协同竞争机制为基础，引入基于近邻个体间的自适应竞争的“学”算子，从而使当前个体选择它的近邻个体，并且让个体们从协作演化逐渐过渡到竞争学习。在12个Benchmark测试函数上的测试结果表明，相较于其他4种改进TLBO算法，所提算法具有更好的解精度、稳定性和收敛速度，同时相较于TLBO算法有大幅提升，验证了所提算法适合于求解较高维度的连续型优化问题。选择压缩弹簧和三杆桁架设计问题进行测试的结果表明，ITLBOAC获得的最优值分别比TLBO算法下降了3.03%和0.34%。可见，在求解约束工程优化问题时，ITLBOAC同样值得信任。

关键词: 教与学优化, 自适应学习, 竞争学习, 洛特卡-沃尔泰拉模型, 约束工程优化问题

Abstract:

For that the Teaching-Learning-Based Optimization （TLBO） algorithm has some problems， such as prematurity and poor solution accuracy， in solving high-dimensional optimization problems， an Improved TLBO algorithm with Adaptive Competitive learning （ITLBOAC） was proposed. Firstly， a weighted parameter with nonlinear change was introduced into the “teaching” operator to determine the ability of the current individual to maintain its own state and adjust the attitude of the current individual towards learning from teachers. As a result， the current individual learnt more from the teacher in the early stage to improve its own state quickly， and kept the state of itself more in the later stage to slow down the influence of the teacher on it. Then， based on ecological cooperation and competition mechanisms， a “learning” operator based on adaptive competition between nearest neighbor individuals was introduced. To make the current individual chose its near neighbors and the individuals eventually shifted from cooperative evolution to competitive learning. Test results on 12 Benchmark test functions show that compared with four improved TLBO algorithms， the proposed algorithm is better in terms of accuracy of solutions， stability and convergence speed， and is much better than TLBO algorithm at the same time， which verify that the proposed algorithm is suitable for solving high-dimensional continuous optimization problems. Test results with compression spring and three-bar truss design problems selected to test show that the optimal values obtained by ITLBOAC decreased by 3.03% and 0.34% respectively， compared with those obtained by TLBO algorithm. It can be seen that ITLBOAC is a trustworthy algorithm in solving constrained engineering optimization problems.

Key words: Teaching-Learning-Based Optimization (TLBO), adaptive learning, competitive learning, Lotka-Volterra model, constrained engineering optimization problem

王培崇, 冯浩婧, 李丽荣. 基于自适应竞争学习的教与学优化算法[J]. 计算机应用, 2023, 43(12): 3868-3874.

Peichong WANG, Haojing FENG, Lirong LI. Improved TLBO algorithm with adaptive competitive learning[J]. Journal of Computer Applications, 2023, 43(12): 3868-3874.

图/表 7

图1 参数p、q随迭代次数的变化

Fig.1 Variation of parameters p and q with number of iterations

表1 Benchmark测试函数

Tab. 1 Benchmark test functions

类别	函数名称	公式	搜索域	f_min
单峰函数	Sphere	$f 1 (x) = ∑ i = 1 n x i 2$	［-100，100］	0
	Schwefel 2.21	$f 2 (x) = m a x x i, 1 ≤ i ≤ n$	［-100，100］	0
	Schwefel 2.22	$f 3 (x) = ∑ i = 1 n x i + ∏ i = 1 n x i$	［-10，10］	0
	Rosenbrock	$f 4 (x) = ∑ i = 1 n - 1 100 x i + 1 - x i 2) 2 + (x i - 1 2]$	［-30，30］	0
	Step	$f 5 (x) = ∑ i = 1 n (x i + 0.5) 2$	［-100，100］	0
多峰函数	Rastrigin	$f 6 (x) = ∑ i = 1 n x i 2 - 10 c o s (2 π x i) + 10$	［-5.12，5.12］	0
	Griewank	$f 7 (x) = 1 4 000 ∑ i = 1 n x i 2 - ∏ i = 1 n c o s x i / x i + 1$	［-600，600］	0
	Ackley	$f 8 (x) = - 20 e x p - 0.2 1 n ∑ i = 1 n x i 2 - e x p 1 n ∑ i = 1 n c o s (2 π x i) + 20 + e$	［-32，32］	0
	Penalized 1	$f 9 (x) = π n 10 s i n (π y 1) + ∑ i = 1 n - 1 (y i - 1) 2 1 + 10 s i n 2 (π y i + 1) + (y n - 1) 2 + ∑ i = 1 n u (x i, 10,100,4)$	［-50，50］	0
	Penalized 2	$f 10 (x) = 0.1 s i n 2 (3 π x 1) + ∑ i = 1 n (x i - 1) 2 [1 + s i n 2 (3 π x i + 1)] + (x n - 1) 2 [1 + s i n 2 (2 π x n)] + ∑ i = 1 n u (x i, 5,100,4)$	［-50，50］	0
固定维度多峰函数	Six-Hump Camel-Back Function	$f 11 (x) = 4 x 12 - 2.1 x 14 + 13 x 16 + x 1 x 2 - 4 x 22 + 4 x 24$	［-5，5］²	-1.031 6
固定维度多峰函数	Goldstein-Price Function	$f 12 (x) = 1 + (x 1 + x 2 + 1) 2 (19 - 14 x 1 + 3 x 12 - 14 x 2 + 6 x 1 x 2 + 3 x 22) 30 + (2 x 1 - 3 x 2) 2 (18 - 32 x 1 + 12 x 12 + 48 x 2 - 36 x 1 x 2 + 27 x 22)$	［-5，5］²	3

表1 Benchmark测试函数

Tab. 1 Benchmark test functions

类别	函数名称	公式	搜索域	f_min
单峰函数	Sphere	$f 1 (x) = ∑ i = 1 n x i 2$	［-100，100］	0
	Schwefel 2.21	$f 2 (x) = m a x x i, 1 ≤ i ≤ n$	［-100，100］	0
	Schwefel 2.22	$f 3 (x) = ∑ i = 1 n x i + ∏ i = 1 n x i$	［-10，10］	0
	Rosenbrock	$f 4 (x) = ∑ i = 1 n - 1 100 x i + 1 - x i 2) 2 + (x i - 1 2]$	［-30，30］	0
	Step	$f 5 (x) = ∑ i = 1 n (x i + 0.5) 2$	［-100，100］	0
多峰函数	Rastrigin	$f 6 (x) = ∑ i = 1 n x i 2 - 10 c o s (2 π x i) + 10$	［-5.12，5.12］	0
	Griewank	$f 7 (x) = 1 4 000 ∑ i = 1 n x i 2 - ∏ i = 1 n c o s x i / x i + 1$	［-600，600］	0
	Ackley	$f 8 (x) = - 20 e x p - 0.2 1 n ∑ i = 1 n x i 2 - e x p 1 n ∑ i = 1 n c o s (2 π x i) + 20 + e$	［-32，32］	0
	Penalized 1	$f 9 (x) = π n 10 s i n (π y 1) + ∑ i = 1 n - 1 (y i - 1) 2 1 + 10 s i n 2 (π y i + 1) + (y n - 1) 2 + ∑ i = 1 n u (x i, 10,100,4)$	［-50，50］	0
	Penalized 2	$f 10 (x) = 0.1 s i n 2 (3 π x 1) + ∑ i = 1 n (x i - 1) 2 [1 + s i n 2 (3 π x i + 1)] + (x n - 1) 2 [1 + s i n 2 (2 π x n)] + ∑ i = 1 n u (x i, 5,100,4)$	［-50，50］	0
固定维度多峰函数	Six-Hump Camel-Back Function	$f 11 (x) = 4 x 12 - 2.1 x 14 + 13 x 16 + x 1 x 2 - 4 x 22 + 4 x 24$	［-5，5］²	-1.031 6
固定维度多峰函数	Goldstein-Price Function	$f 12 (x) = 1 + (x 1 + x 2 + 1) 2 (19 - 14 x 1 + 3 x 12 - 14 x 2 + 6 x 1 x 2 + 3 x 22) 30 + (2 x 1 - 3 x 2) 2 (18 - 32 x 1 + 12 x 12 + 48 x 2 - 36 x 1 x 2 + 27 x 22)$	［-5，5］²	3

表2 10维下各算法的寻优结果

Tab. 2 Optimization results of each algorithm in 10 dimensions

函数	最优解	PSO	TLBO	ITLBO	CPTLBO	BASTLBO	DSLTLBO	ITLBOAC
f₁	最优值	4.433 6E-03	5.888 4E-32	2.323 1E-131	1.607 9E-51	3.773 9E-114	4.929 6E-99	2.9223E-182
	平均值	1.435 8E-01	6.350 7E-31	9.354 0E-128	5.582 0E-50	1.599 2E-94	9.475 6E-98	3.3689E-174
	标准差	1.817 0E-01	5.265 1E-31	1.944 2E-127	1.372 4E-49	4.795 1E-94	1.019 1E-97	0.0000E+00
f₂	最优值	3.419 4E+00	2.263 3E-14	6.565 1E-66	1.905 8E-24	7.781 8E-54	1.404 3E-49	4.1933E-91
	平均值	1.181 3E+01	6.662 8E-14	4.184 8E-63	1.294 5E-23	1.425 1E-48	2.742 3E-48	3.8351E-86
	标准差	7.697 4E+00	4.074 7E-14	1.016 1E-62	1.013 4E-23	2.372 1E-48	5.356 0E-48	1.1019E-85
f₃	最优值	2.646 7E-03	7.391 1E-16	1.459 4E-66	5.036 4E-28	3.158 7E-55	2.897 3E-51	3.1797E-90
	平均值	4.013 3E+00	4.736 9E-15	2.769 7E-65	3.705 8E-27	3.093 3E-49	2.374 2E-50	5.8489E-87
	标准差	4.894 7E+00	4.532 5E-15	3.095 8E-65	4.512 8E-27	9.151 9E-49	2.212 0E-50	1.5973E-86
f₄	最优值	1.394 6E+01	8.3539E+00	8.896 3E+00	8.679 4E+00	8.785 6E+00	8.467 2E+00	8.850 8E+00
	平均值	1.577 6E+02	8.6843E+00	8.956 9E+00	8.846 5E+00	8.912 5E+00	8.857 8E+00	8.927 9E+00
	标准差	1.322 9E+02	1.415 2E-01	3.968 7E-02	7.117 9E-02	5.018 0E-02	1.439 1E-01	3.0211E-02
f₅	最优值	9.7818E-03	9.795 4E-02	1.197 8E+00	4.321 0E-01	9.761 6E-01	5.339 3E-01	8.812 5E-01
	平均值	3.198 8E-01	2.9244E-01	1.588 0E+00	7.120 3E-01	1.230 9E+00	1.376 5E+00	1.394 8E+00
	标准差	7.220 5E-01	1.4115E-01	3.839 5E-01	1.746 8E-01	2.220 8E-01	4.177 3E-01	2.588 1E-01
f₆	最优值	2.592 0E+01	3.130 1E-10	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
	平均值	4.617 8E+01	3.001 3E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
	标准差	1.274 0E+01	3.090 7E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
f₇	最优值	5.536 4E-01	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
	平均值	7.885 8E-01	1.904 9E-02	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
	标准差	1.750 6E-01	1.912 3E-02	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
f₈	最优值	1.651 9E+00	3.108 6E-15	4.4408E-16	4.4408E-16	4.4408E-16	4.4408E-16	4.4408E-16
	平均值	3.518 9E+00	3.108 6E-15	4.4408E-16	2.842 2E-15	4.4408E-16	4.4408E-16	4.4408E-16
	标准差	1.157 2E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	7.993 6E-16	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
f₉	最优值	3.581 9E-04	1.630 2E-05	4.1531E-06	2.756 5E-05	1.230 9E-05	3.106 9E-05	2.130 7E-04
	平均值	4.287 8E+00	2.065 6E-04	9.7841E-05	1.930 6E-04	1.565 3E-04	5.871 1E-04	3.077 3E-03
	标准差	4.367 3E+00	4.915 7E-03	7.806 9E-03	3.199 6E-03	3.630 7E-03	5.943 7E-03	2.8297E-03
f₁₀	最优值	6.992 5E-01	6.2750E-02	4.160 2E-01	4.029 1E-01	9.483 5E-02	5.621 5E-01	7.522 5E-01
	平均值	3.888 3E+00	1.6949E-01	8.168 1E-01	5.779 7E-01	2.102 0E-01	8.775 6E-01	1.150 1E+00
	标准差	4.901 5E+00	7.662 3E-02	2.747 8E-01	1.498 3E-01	6.6096E-02	1.658 9E-01	2.160 9E-01
f₁₁	最优值	-1.0316E+00	-1.0316E+00	-1.031 3E+00	-1.0316E+00	-1.0316E+00	-1.0316E+00	-1.0316E+00
	平均值	-1.0316E+00	-1.0316E+00	-1.029 3E+00	-1.031 5E+00	-1.031 5E+00	-1.028 3E+00	-1.029 5E+00
	标准差	7.0216E-17	2.220 4E-05	2.755 7E-03	4.891 9E-05	6.392 8E-05	3.258 7E-03	5.046 2E-03
f₁₂	最优值	3.0000E+00	3.0000E+00	3.0000E+00	3.001 4E+00	3.001 3E+00	3.003 1E+00	3.006 7E+00
	平均值	5.699 9E+00	3.226 3E+00	9.077 2E+00	3.213 4E+00	3.222 5E+00	4.190 6E+00	3.1796E+00
	标准差	8.100 0E+00	6.211 9E-01	8.108 1E+00	1.497 6E-02	3.251 5E-02	1.855 3E+00	1.3694E-02

表2 10维下各算法的寻优结果

Tab. 2 Optimization results of each algorithm in 10 dimensions

函数	最优解	PSO	TLBO	ITLBO	CPTLBO	BASTLBO	DSLTLBO	ITLBOAC
f₁	最优值	4.433 6E-03	5.888 4E-32	2.323 1E-131	1.607 9E-51	3.773 9E-114	4.929 6E-99	2.9223E-182
	平均值	1.435 8E-01	6.350 7E-31	9.354 0E-128	5.582 0E-50	1.599 2E-94	9.475 6E-98	3.3689E-174
	标准差	1.817 0E-01	5.265 1E-31	1.944 2E-127	1.372 4E-49	4.795 1E-94	1.019 1E-97	0.0000E+00
f₂	最优值	3.419 4E+00	2.263 3E-14	6.565 1E-66	1.905 8E-24	7.781 8E-54	1.404 3E-49	4.1933E-91
	平均值	1.181 3E+01	6.662 8E-14	4.184 8E-63	1.294 5E-23	1.425 1E-48	2.742 3E-48	3.8351E-86
	标准差	7.697 4E+00	4.074 7E-14	1.016 1E-62	1.013 4E-23	2.372 1E-48	5.356 0E-48	1.1019E-85
f₃	最优值	2.646 7E-03	7.391 1E-16	1.459 4E-66	5.036 4E-28	3.158 7E-55	2.897 3E-51	3.1797E-90
	平均值	4.013 3E+00	4.736 9E-15	2.769 7E-65	3.705 8E-27	3.093 3E-49	2.374 2E-50	5.8489E-87
	标准差	4.894 7E+00	4.532 5E-15	3.095 8E-65	4.512 8E-27	9.151 9E-49	2.212 0E-50	1.5973E-86
f₄	最优值	1.394 6E+01	8.3539E+00	8.896 3E+00	8.679 4E+00	8.785 6E+00	8.467 2E+00	8.850 8E+00
	平均值	1.577 6E+02	8.6843E+00	8.956 9E+00	8.846 5E+00	8.912 5E+00	8.857 8E+00	8.927 9E+00
	标准差	1.322 9E+02	1.415 2E-01	3.968 7E-02	7.117 9E-02	5.018 0E-02	1.439 1E-01	3.0211E-02
f₅	最优值	9.7818E-03	9.795 4E-02	1.197 8E+00	4.321 0E-01	9.761 6E-01	5.339 3E-01	8.812 5E-01
	平均值	3.198 8E-01	2.9244E-01	1.588 0E+00	7.120 3E-01	1.230 9E+00	1.376 5E+00	1.394 8E+00
	标准差	7.220 5E-01	1.4115E-01	3.839 5E-01	1.746 8E-01	2.220 8E-01	4.177 3E-01	2.588 1E-01
f₆	最优值	2.592 0E+01	3.130 1E-10	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
	平均值	4.617 8E+01	3.001 3E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
	标准差	1.274 0E+01	3.090 7E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
f₇	最优值	5.536 4E-01	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
	平均值	7.885 8E-01	1.904 9E-02	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
	标准差	1.750 6E-01	1.912 3E-02	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
f₈	最优值	1.651 9E+00	3.108 6E-15	4.4408E-16	4.4408E-16	4.4408E-16	4.4408E-16	4.4408E-16
	平均值	3.518 9E+00	3.108 6E-15	4.4408E-16	2.842 2E-15	4.4408E-16	4.4408E-16	4.4408E-16
	标准差	1.157 2E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	7.993 6E-16	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
f₉	最优值	3.581 9E-04	1.630 2E-05	4.1531E-06	2.756 5E-05	1.230 9E-05	3.106 9E-05	2.130 7E-04
	平均值	4.287 8E+00	2.065 6E-04	9.7841E-05	1.930 6E-04	1.565 3E-04	5.871 1E-04	3.077 3E-03
	标准差	4.367 3E+00	4.915 7E-03	7.806 9E-03	3.199 6E-03	3.630 7E-03	5.943 7E-03	2.8297E-03
f₁₀	最优值	6.992 5E-01	6.2750E-02	4.160 2E-01	4.029 1E-01	9.483 5E-02	5.621 5E-01	7.522 5E-01
	平均值	3.888 3E+00	1.6949E-01	8.168 1E-01	5.779 7E-01	2.102 0E-01	8.775 6E-01	1.150 1E+00
	标准差	4.901 5E+00	7.662 3E-02	2.747 8E-01	1.498 3E-01	6.6096E-02	1.658 9E-01	2.160 9E-01
f₁₁	最优值	-1.0316E+00	-1.0316E+00	-1.031 3E+00	-1.0316E+00	-1.0316E+00	-1.0316E+00	-1.0316E+00
	平均值	-1.0316E+00	-1.0316E+00	-1.029 3E+00	-1.031 5E+00	-1.031 5E+00	-1.028 3E+00	-1.029 5E+00
	标准差	7.0216E-17	2.220 4E-05	2.755 7E-03	4.891 9E-05	6.392 8E-05	3.258 7E-03	5.046 2E-03
f₁₂	最优值	3.0000E+00	3.0000E+00	3.0000E+00	3.001 4E+00	3.001 3E+00	3.003 1E+00	3.006 7E+00
	平均值	5.699 9E+00	3.226 3E+00	9.077 2E+00	3.213 4E+00	3.222 5E+00	4.190 6E+00	3.1796E+00
	标准差	8.100 0E+00	6.211 9E-01	8.108 1E+00	1.497 6E-02	3.251 5E-02	1.855 3E+00	1.3694E-02

表3 30维下各算法的寻优结果

Tab.3 Optimization results of each algorithm in 30 dimensions

函数	最优解	PSO	TLBO	ITLBO	CPTLBO	BASTLBO	DSLTLBO	ITLBOAC
f₁	最优值	2.642 9E+03	3.1533E-25	4.452 7E-128	7.903 4E-41	1.596 1E-112	1.496 7E-91	8.3379E-177
	平均值	1.284 0E+04	7.4747E-25	4.634 8E-124	3.820 8E-40	1.579 6E-95	5.503 4E-90	3.7195E-165
	标准差	6.649 4E+03	5.4109E-25	1.063 5E-123	2.717 5E-40	4.363 2E-95	8.243 2E-90	0.0000E+00
f₂	最优值	6.077 2E+01	1.7038E-11	4.906 2E-65	3.635 4E-19	4.865 9E-56	3.590 4E-45	6.9556E-91
	平均值	7.254 9E+01	2.8212E-11	2.655 3E-62	1.358 8E-18	3.302 3E-49	9.255 8E-45	1.7377E-87
	标准差	7.714 3E+00	7.5319E-12	4.184 4E-62	9.263 0E-19	6.608 3E-49	7.699 4E-45	2.5437E-87
f₃	最优值	8.008 4E+01	1.9929E-13	6.310 7E-66	6.542 3E-22	4.901 8E-55	9.402 1E-47	2.3072E-88
	平均值	1.036 2E+02	3.3005E-13	3.303 2E-64	2.063 8E-21	1.928 1E-49	3.197 3E-46	1.5415E-85
	标准差	1.269 5E+01	1.3466E-13	3.989 0E-64	8.637 8E-22	2.670 1E-49	2.224 9E-46	4.0962E-85
f₄	最优值	4.901 9E+05	2.8674E+01	2.892 3E+01	2.886 0E+01	2.883 2E+01	2.876 0E+01	2.881 0E+01
	平均值	1.419 2E+07	2.8798E+01	2.895 7E+01	2.888 0E+01	2.889 3E+01	2.892 2E+01	2.883 8E+01
	标准差	2.712 0E+07	5.5080E-02	2.437 7E-02	2.206 5E-02	3.924 2E-02	5.582 1E-02	2.0177E-02
f₅	最优值	2.862 8E+03	2.0532E+00	4.679 3E+00	3.818 7E+00	3.918 5E+00	5.576 4E+00	4.809 9E+00
	平均值	1.074 4E+04	3.3623E+00	6.615 0E+00	4.481 5E+00	5.061 3E+00	6.053 9E+00	5.331 6E+00
	标准差	6.051 3E+03	6.8256E-01	8.237 0E-01	4.047 6E-01	6.366 7E-01	3.888 4E-01	3.3251E-01
f₆	最优值	2.115 6E+02	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
	平均值	2.880 7E+02	1.763 7E+01	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
	标准差	3.554 8E+01	3.130 7E+01	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
f₇	最优值	1.469 7E+01	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
	平均值	1.034 6E+02	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
	标准差	7.375 2E+01	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
f₈	最优值	1.385 3E+01	8.837 4E-14	4.4409E-16	4.4409E-16	4.4409E-16	4.4409E-16	4.4409E-16
	平均值	1.857 8E+01	1.654 7E-13	4.4409E-16	4.4409E-16	4.4409E-16	4.4409E-16	4.4409E-16
	标准差	1.737 8E+00	3.595 3E-14	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
f₉	最优值	7.051 3E+04	4.859 3E-06	1.2314E-06	1.625 6E-06	2.464 3E-05	4.895 9E-05	4.935 7E-06
	平均值	8.682 2E+06	5.0354E-05	9.267 4E-03	5.447 0E-05	1.311 1E-04	1.743 8E-02	2.391 9E-03
	标准差	9.975 7E+06	3.7100E-05	2.024 4E-02	7.056 7E-05	1.180 7E-04	1.413 0E-02	2.737 0E-03
f₁₀	最优值	1.056 2E+05	1.2072E+00	2.543 6E+00	2.726 5E+00	1.583 0E+00	3.086 7E+00	2.948 1E+00
	平均值	8.109 9E+07	1.8544E+00	3.467 1E+00	3.002 5E+00	1.925 9E+00	3.638 8E+00	3.897 1E+00
	标准差	1.492 7E+08	3.402 8E-01	4.070 1E-01	1.658 8E-01	2.491 2E-01	2.896 3E-01	2.3559E-01
f₁₁	最优值	-1.0316E+00	-1.0316E+00	-1.0316E+00	-1.0316E+00	-1.0316E+00	-1.030 5E+00	-1.0316E+00
	平均值	-1.0316E+00	-1.031 4E+00	-1.029 3E+00	-1.031 4E+00	-1.0316E+00	-1.025 2E+00	-1.027 9E+00
	标准差	9.9301E-17	7.271 5E-04	2.957 1E-03	1.939 3E-04	3.904 5E-05	6.687 2E-03	6.993 3E-03
f₁₂	最优值	3.0000E+00	3.0000E+00	3.000 3E+00	3.001 0E+00	3.000 5E+00	3.042 4E+00	3.015 0E+00
	平均值	1.110 0E+01	3.263 9E+00	9.442 0E+00	3.012 1E+00	3.211 9E+00	6.403 3E+00	3.2003E+00
	标准差	2.430 0E+01	5.479 6E-01	8.296 4E+00	1.157 6E-02	1.998 6E-02	8.046 6E+00	1.7298E-02

表3 30维下各算法的寻优结果

Tab.3 Optimization results of each algorithm in 30 dimensions

函数	最优解	PSO	TLBO	ITLBO	CPTLBO	BASTLBO	DSLTLBO	ITLBOAC
f₁	最优值	2.642 9E+03	3.1533E-25	4.452 7E-128	7.903 4E-41	1.596 1E-112	1.496 7E-91	8.3379E-177
	平均值	1.284 0E+04	7.4747E-25	4.634 8E-124	3.820 8E-40	1.579 6E-95	5.503 4E-90	3.7195E-165
	标准差	6.649 4E+03	5.4109E-25	1.063 5E-123	2.717 5E-40	4.363 2E-95	8.243 2E-90	0.0000E+00
f₂	最优值	6.077 2E+01	1.7038E-11	4.906 2E-65	3.635 4E-19	4.865 9E-56	3.590 4E-45	6.9556E-91
	平均值	7.254 9E+01	2.8212E-11	2.655 3E-62	1.358 8E-18	3.302 3E-49	9.255 8E-45	1.7377E-87
	标准差	7.714 3E+00	7.5319E-12	4.184 4E-62	9.263 0E-19	6.608 3E-49	7.699 4E-45	2.5437E-87
f₃	最优值	8.008 4E+01	1.9929E-13	6.310 7E-66	6.542 3E-22	4.901 8E-55	9.402 1E-47	2.3072E-88
	平均值	1.036 2E+02	3.3005E-13	3.303 2E-64	2.063 8E-21	1.928 1E-49	3.197 3E-46	1.5415E-85
	标准差	1.269 5E+01	1.3466E-13	3.989 0E-64	8.637 8E-22	2.670 1E-49	2.224 9E-46	4.0962E-85
f₄	最优值	4.901 9E+05	2.8674E+01	2.892 3E+01	2.886 0E+01	2.883 2E+01	2.876 0E+01	2.881 0E+01
	平均值	1.419 2E+07	2.8798E+01	2.895 7E+01	2.888 0E+01	2.889 3E+01	2.892 2E+01	2.883 8E+01
	标准差	2.712 0E+07	5.5080E-02	2.437 7E-02	2.206 5E-02	3.924 2E-02	5.582 1E-02	2.0177E-02
f₅	最优值	2.862 8E+03	2.0532E+00	4.679 3E+00	3.818 7E+00	3.918 5E+00	5.576 4E+00	4.809 9E+00
	平均值	1.074 4E+04	3.3623E+00	6.615 0E+00	4.481 5E+00	5.061 3E+00	6.053 9E+00	5.331 6E+00
	标准差	6.051 3E+03	6.8256E-01	8.237 0E-01	4.047 6E-01	6.366 7E-01	3.888 4E-01	3.3251E-01
f₆	最优值	2.115 6E+02	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
	平均值	2.880 7E+02	1.763 7E+01	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
	标准差	3.554 8E+01	3.130 7E+01	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
f₇	最优值	1.469 7E+01	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
	平均值	1.034 6E+02	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
	标准差	7.375 2E+01	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
f₈	最优值	1.385 3E+01	8.837 4E-14	4.4409E-16	4.4409E-16	4.4409E-16	4.4409E-16	4.4409E-16
	平均值	1.857 8E+01	1.654 7E-13	4.4409E-16	4.4409E-16	4.4409E-16	4.4409E-16	4.4409E-16
	标准差	1.737 8E+00	3.595 3E-14	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00	0.0000E+00
f₉	最优值	7.051 3E+04	4.859 3E-06	1.2314E-06	1.625 6E-06	2.464 3E-05	4.895 9E-05	4.935 7E-06
	平均值	8.682 2E+06	5.0354E-05	9.267 4E-03	5.447 0E-05	1.311 1E-04	1.743 8E-02	2.391 9E-03
	标准差	9.975 7E+06	3.7100E-05	2.024 4E-02	7.056 7E-05	1.180 7E-04	1.413 0E-02	2.737 0E-03
f₁₀	最优值	1.056 2E+05	1.2072E+00	2.543 6E+00	2.726 5E+00	1.583 0E+00	3.086 7E+00	2.948 1E+00
	平均值	8.109 9E+07	1.8544E+00	3.467 1E+00	3.002 5E+00	1.925 9E+00	3.638 8E+00	3.897 1E+00
	标准差	1.492 7E+08	3.402 8E-01	4.070 1E-01	1.658 8E-01	2.491 2E-01	2.896 3E-01	2.3559E-01
f₁₁	最优值	-1.0316E+00	-1.0316E+00	-1.0316E+00	-1.0316E+00	-1.0316E+00	-1.030 5E+00	-1.0316E+00
	平均值	-1.0316E+00	-1.031 4E+00	-1.029 3E+00	-1.031 4E+00	-1.0316E+00	-1.025 2E+00	-1.027 9E+00
	标准差	9.9301E-17	7.271 5E-04	2.957 1E-03	1.939 3E-04	3.904 5E-05	6.687 2E-03	6.993 3E-03
f₁₂	最优值	3.0000E+00	3.0000E+00	3.000 3E+00	3.001 0E+00	3.000 5E+00	3.042 4E+00	3.015 0E+00
	平均值	1.110 0E+01	3.263 9E+00	9.442 0E+00	3.012 1E+00	3.211 9E+00	6.403 3E+00	3.2003E+00
	标准差	2.430 0E+01	5.479 6E-01	8.296 4E+00	1.157 6E-02	1.998 6E-02	8.046 6E+00	1.7298E-02

图2 10维下各算法的收敛曲线

Fig. 2 Convergence curves of different algorithms under 10 dimensions

表4 压缩弹簧优化设计问题的寻优结果

Tab.4 Optimization results for compression spring optimized design problem

算法	W	D	L	重量
TLBO	0.052 0	0.361 2	11.572 1	0.013 2
ITLBOAC	0.051 8	0.358 7	11.387 6	0.012 8
PSO	0.052 6	0.356 7	11.288 3	0.013 0
DSLTLBO	0.052 2	0.360 8	11.422 3	0.013 1
BASTLBO	0.051 9	0.359 6	11.432 2	0.013 0

表5 三杆桁架设计优化问题的寻优结果

Tab.5 Optimization Results for three-bar truss optimized design problem

算法	A₁	A₂	体积
TLBO	0.792 7	0.417 6	264.787 9
ITLBOAC	0.788 7	0.408 2	263.895 8
PSO	0.789 2	0.432 5	264.818 3
DSLTLBO	0.788 8	0.409 0	263.895 9
BASTLBO	0.788 6	0.408 6	263.895 8

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基于自适应竞争学习的教与学优化算法

Improved TLBO algorithm with adaptive competitive learning

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参考文献 19

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