基于自学习的整数数列符号回归方法

doi:10.11772/j.issn.1001-9081.2023101427

《计算机应用》唯一官方网站 ›› 2024, Vol. 44 ›› Issue (10): 3158-3166.DOI: 10.11772/j.issn.1001-9081.2023101427

基于自学习的整数数列符号回归方法

孙凯明, 蔡东风, 白宇()

沈阳航空航天大学计算机学院，沈阳 110136

收稿日期:2023-10-23 修回日期:2024-01-11 接受日期:2024-01-18 发布日期:2024-10-15 出版日期:2024-10-10
通讯作者: 白宇
作者简介:孙凯明（2000—），男，河北石家庄人，硕士研究生，主要研究方向：自然语言处理
蔡东风（1958—），男，辽宁沈阳人，教授，博士，主要研究方向：人工智能、自然语言处理
白宇（1982—），男（回族），内蒙古赤峰人，副教授，博士研究生，CCF会员，主要研究方向：信息检索、语言与知识计算 nlpxiaobai@163.com。

Symbolic regression method for integer sequence based on self-learning

Kaiming SUN, Dongfeng CAI, Yu BAI()

School of Computer Science，Shenyang Aerospace University，Shenyang Liaoning 110136，China

Received:2023-10-23 Revised:2024-01-11 Accepted:2024-01-18 Online:2024-10-15 Published:2024-10-10
Contact: Yu BAI
About author:SUN Kaiming， born in 2000， M. S. candidate. His research interests include natural language processing.
CAI Dongfeng， born in 1958， Ph. D.， professor. His research interests include artificial intelligence， natural language processing.

摘要/Abstract

摘要：

针对现有符号回归方法难以有效泛化至整数数列在线百科全书（OEIS）中数列的问题，提出一种基于自学习（SL）的整数数列符号回归方法。首先，通过程序构造多种学习数据，结合OEIS数据的特点融入高阶线性递推数据，并采用OEIS初始项生成递推数列；其次，将学习数据转换为OEIS数据，提出融合多种OEIS数据作为初始迭代数据的策略；最后，通过自学习迭代逐步发现OEIS数列的公式，迭代过程分为学习、搜索、检验、选择这4个阶段。实验结果表明，所提方法优于深度符号回归（DSR）方法和Mathematica内置函数，在Easy、Sign和Base这3个测试集上相较于DSR的准确率分别提升9.66、4.17和5.14个百分点，共发现27 433个OEIS数列的公式，其中新发现的公式可以辅助数学家研究相关理论。

关键词: 符号回归, 自学习, 公式发现, 整数数列在线百科全书, Transformer

Abstract:

Aiming at the problem that existing symbolic regression methods are difficult to effectively generalize to sequences in the On-line Encyclopedia of Integer Sequences （OEIS）， a symbolic regression method for integer sequence based on Self-Learning （SL） was proposed. Firstly， a variety of learning data were constructed through programs， and integrated into high-order linear recursive data according to the characteristics of OEIS data， and the OEIS initial term was used to generate recursive sequences. Secondly， the learning data were converted into OEIS data， and a strategy of fusing multiple OEIS data as the data of initial iteration was proposed. Finally， the formulas of the OEIS sequences were gradually discovered through self-learning iteration. The iteration process was divided into four stages： Learn， Search， Check and Select. Experimental results show that the proposed method is better than the Deep Symbolic Regression （DSR） method and Mathematica’s built-in function. Compared with the DSR on the three test sets of Easy， Sign and Base， the accuracy of the proposed method improved by 9.66， 4.17， and 5.14 percentage points respectively. A total of 27 433 formulas of the OEIS sequence were found. The newly discovered formulas can assist mathematicians in conducting related theoretical research.

Key words: symbolic regression, Self-Learning (SL), formula discovery, OEIS (On-line Encyclopedia of Integer Sequences), Transformer

中图分类号:

TP391

孙凯明, 蔡东风, 白宇. 基于自学习的整数数列符号回归方法[J]. 计算机应用, 2024, 44(10): 3158-3166.

Kaiming SUN, Dongfeng CAI, Yu BAI. Symbolic regression method for integer sequence based on self-learning[J]. Journal of Computer Applications, 2024, 44(10): 3158-3166.

图/表 14

图1 数据生成过程

Fig. 1 Data generation process

表1 生成公式的超参数

Tab. 1 Hyperparameters for generating formulas

公式类型	$o m a x$	$d m a x$	$l m i n$	$l m a x$	初始项
普通递推	10	6	5	30	［-10，10］
一般高阶递推	10	12	13	30	OEIS
高阶线性递推	2	12	13	30	OEIS
高阶常系数线性递推	10	12	13	30	OEIS

表1 生成公式的超参数

Tab. 1 Hyperparameters for generating formulas

公式类型	$o m a x$	$d m a x$	$l m i n$	$l m a x$	初始项
普通递推	10	6	5	30	［-10，10］
一般高阶递推	10	12	13	30	OEIS
高阶线性递推	2	12	13	30	OEIS
高阶常系数线性递推	10	12	13	30	OEIS

表2 公式运算符种类

Tab. 2 Types of formula operators

类型	运算符	符号	释义	定义式
二元运算符	add	+	加法	$x + y = x + y$
	sub	-	减法	$x - y = x - y$
	mul	*	乘法	$x * y = x * y$
	intdiv	//	整数除法	$x / / y = x y$
	mod	%	取余	$x % y = x - x y * y$
一元运算符	abs	\| \|	绝对值	$x = x$
	sqr	**	平方	$x * * = x 2$
	sign	sign	取符号	$s i g n (x) = 1, x ≥ 0 - 1, x < 0$
	ReLU	ReLU	非线性运算	$R e L U (x) = x, x ≥ 0 0, x < 0$

表2 公式运算符种类

Tab. 2 Types of formula operators

类型	运算符	符号	释义	定义式
二元运算符	add	+	加法	$x + y = x + y$
	sub	-	减法	$x - y = x - y$
	mul	*	乘法	$x * y = x * y$
	intdiv	//	整数除法	$x / / y = x y$
	mod	%	取余	$x % y = x - x y * y$
一元运算符	abs	\| \|	绝对值	$x = x$
	sqr	**	平方	$x * * = x 2$
	sign	sign	取符号	$s i g n (x) = 1, x ≥ 0 - 1, x < 0$
	ReLU	ReLU	非线性运算	$R e L U (x) = x, x ≥ 0 0, x < 0$

图2 自动发现OEIS数列公式的自学习方法流程

Fig. 2 Self-learning method process for automatically discovering OEIS sequence formulas

表3 不同类型的训练集的大小分布

Tab. 3 Size distribution of different types of train sets

训练集	公式类型	训练集大小/10⁶
ITSA	普通递推	600
ITSB	一般高阶递推	25
ITSC	高阶线性递推	10
ITSD	常系数高阶线性递推	10

表4 模型参数配置

Tab. 4 Model parameters setting

阶段	超参数	配置
Learn	Arch	Transformer
	Optimizer	Adam
	Lr-scheduler	Inverse_sqrt
	Lr	0.000 4
	Clip-norm	0.1
	Dropout	0.2
	Warmup-updates	1 000
	Warmup-init-lr	1×10^-7
	Batch-size	256
Search	BeamSize	32
	NBest	32
	Max-tokens	4 096

图3 不同NBest的SeqNum变化

Fig. 3 Change of SeqNum for different NBest

图4 自学习循环的学习数据变化过程

Fig. 4 Learning data change process in self-learning cycle

图5 已发现公式的OEIS数列（SeqNum）和新发现公式的OEIS数列（NewSeqNum）的变化情况

Fig. 5 Changes in number of OEIS sequence of discovered formulas （SeqNum） and number of OEIS sequence of newly discovered formulas （NewSeqNum）

表5 不同方法在3个测试集上的准确率

Tab. 5 Accuracies of different methods on three test sets

方法	n_pred	准确率/%
方法	n_pred	Easy	Sign	Base
FSF	1	14.14	7.97	1.52
	10	13.90	6.98	1.34
	all	13.63	6.44	0.91
FLR	1	21.88	15.15	11.21
	10	20.86	13.67	7.80
	all	19.76	12.96	5.55
DSR^［7］	1	30.20	23.96	12.54
	10	20.42	12.44	3.96
	all	19.16	9.26	1.73
SL-A2	1	29.91	20.49	5.86
	10	22.97	9.19	1.29
	all	22.86	9.00	1.11
SL-A1	1	29.52	19.95	5.73
	10	24.29	10.44	1.65
	all	24.23	10.40	1.51
SL-All	1	33.54	24.56	12.19
	10	29.01	13.70	7.12
	all	28.82	13.43	6.87

表6 不同超参数对准确率的影响 (%)

Tab. 6 Impact of different hyperparameters on accuracy

Number	方法	Easy	Sign	Base
N1	5M+6d+FIR	10.46	6.10	0.62
N2	5M+12d+FIR	10.84	5.68	0.61
N3	5M+6d+FIO	14.23	5.56	0.84
N4	5M+12d+FIO	17.61	6.97	1.34
N5	5M+2M+12d+FIO	18.55	8.65	1.47

表7 发现的一些有趣的OEIS数列公式

Tab. 7 Some discovered interesting OEIS sequence formulas

OEIS序号	本文发现的公式	数列部分项
A036146	$a n = (2 a n - 1) % 139$	1，2，4，8，16
A000037	$a n = 2 n - n 2 / / (a n - 1 + 2)$	2，3，5，6，7，8
A214993	$a n = a n - 1 2 / / a n - 2 + 10$	11，121，1 341
A080206	$a n = a n - 2 + a n - 3 - 2 a n - 1$	1，1，1，0，2
A070602	$a n = (n - 1) 5 % 18 a n = (a n - 9 + 9) % 18$	0，1，14，9，16
A147657	$a n = s i g n (a n - 3) (n % (- 2)) - a n - 2$	1，2，1，-2，-2
A301697	$a n = a n - 1 + a n - 6 - a n - 7, n ≥ 9$	1，5，10，16

表7 发现的一些有趣的OEIS数列公式

Tab. 7 Some discovered interesting OEIS sequence formulas

OEIS序号	本文发现的公式	数列部分项
A036146	$a n = (2 a n - 1) % 139$	1，2，4，8，16
A000037	$a n = 2 n - n 2 / / (a n - 1 + 2)$	2，3，5，6，7，8
A214993	$a n = a n - 1 2 / / a n - 2 + 10$	11，121，1 341
A080206	$a n = a n - 2 + a n - 3 - 2 a n - 1$	1，1，1，0，2
A070602	$a n = (n - 1) 5 % 18 a n = (a n - 9 + 9) % 18$	0，1，14，9，16
A147657	$a n = s i g n (a n - 3) (n % (- 2)) - a n - 2$	1，2，1，-2，-2
A301697	$a n = a n - 1 + a n - 6 - a n - 7, n ≥ 9$	1，5，10，16

表8 发现与OEIS中不同的数列公式

Tab. 8 Discovered different sequence formulas from those in OEIS

OEIS序号	本文发现的公式	OEIS原公式	数列部分项
A212342	$a n = (- 2) / / a n - 1 + a n - 1 + n$	$a n = 3 a n - 1 - 3 a n - 2 + a n - 3, n ≥ 6$	1， 1， 2， 5， 9， 14， 20， 27， 35
A006257	$a n = 1 + (a n - 1 + 1) % (n - 1)$	$a 2 n - 1 = 2 a n - 1, a 2 n = 2 a n + 1, n ≥ 2$	0， 1， 1， 3， 1， 3， 5， 7， 1， 3
A350520	$a n = 2 a n - 2 + a n - 1 + a n - 1 % (4 a n - 3)$	$a 2 n - 1 = 4 n - 1 - 2 n - 2, a 2 n = 2 2 n - 1, n ≥ 2$	1， 1， 3， 8， 14， 32， 60， 128
A099197	$a n = a n - 2 + (20 a n - 1) / / (n - 2)$	$a n = n 2 (2 n 8 + 120 n 6 + 1 806 n 4 + 7 180 n 2 + 5 067) / 14 175$	0， 1， 20， 201， 1 360， 7 001
A273331	$a n = 1 + 4 (a n - 1 + 1 % a n - 3)$	$a n = (53 * 4 n - 3 - 5) / 3, n ≥ 4$	1， 5， 17， 69， 281， 1 129
A264041	$a n = n 2 - a n - 1 + (n + 1) / / 6$	$a n = a n - 1 + a n - 2 - a n - 3 + a n - 6 - a n - 7 - a n - 8 + a n - 9$	1， 3， 6， 10， 16， 21， 29， 36
A268866	$a n = 16 a n - 2 - 10$	$a n = (2 2 n + 2 + 2) / 3, n ≥ 2 且 n 是偶数 a n = (7 * 2 2 n - 1 + 4) / 6, n ≥ 3 且 n 是奇数$	2， 3， 22， 38， 342， 598

表8 发现与OEIS中不同的数列公式

Tab. 8 Discovered different sequence formulas from those in OEIS

OEIS序号	本文发现的公式	OEIS原公式	数列部分项
A212342	$a n = (- 2) / / a n - 1 + a n - 1 + n$	$a n = 3 a n - 1 - 3 a n - 2 + a n - 3, n ≥ 6$	1， 1， 2， 5， 9， 14， 20， 27， 35
A006257	$a n = 1 + (a n - 1 + 1) % (n - 1)$	$a 2 n - 1 = 2 a n - 1, a 2 n = 2 a n + 1, n ≥ 2$	0， 1， 1， 3， 1， 3， 5， 7， 1， 3
A350520	$a n = 2 a n - 2 + a n - 1 + a n - 1 % (4 a n - 3)$	$a 2 n - 1 = 4 n - 1 - 2 n - 2, a 2 n = 2 2 n - 1, n ≥ 2$	1， 1， 3， 8， 14， 32， 60， 128
A099197	$a n = a n - 2 + (20 a n - 1) / / (n - 2)$	$a n = n 2 (2 n 8 + 120 n 6 + 1 806 n 4 + 7 180 n 2 + 5 067) / 14 175$	0， 1， 20， 201， 1 360， 7 001
A273331	$a n = 1 + 4 (a n - 1 + 1 % a n - 3)$	$a n = (53 * 4 n - 3 - 5) / 3, n ≥ 4$	1， 5， 17， 69， 281， 1 129
A264041	$a n = n 2 - a n - 1 + (n + 1) / / 6$	$a n = a n - 1 + a n - 2 - a n - 3 + a n - 6 - a n - 7 - a n - 8 + a n - 9$	1， 3， 6， 10， 16， 21， 29， 36
A268866	$a n = 16 a n - 2 - 10$	$a n = (2 2 n + 2 + 2) / 3, n ≥ 2 且 n 是偶数 a n = (7 * 2 2 n - 1 + 4) / 6, n ≥ 3 且 n 是奇数$	2， 3， 22， 38， 342， 598

表9 新发现的OEIS数列公式

Tab. 9 Newly discovered OEIS sequence formulas

OEIS序号	数列描述	本文发现的新公式	数列部分项
A134342	某自适应自动机接受的输入组成的数列	$a n = a n - 1 + (a n - 1 + 4) / / 2$	0，2，5，9，15，24，38，59，90
A352178	集合S中含有任意n个不同的整数， $a n$ 是S中2个数之和为2的幂的最大数	$a n = n + (n 2 - 5) / / 19$	0，1，3，4，6，7，9，11，13，15
A302930	在有n个地雷的无限扫雷网格中，可放入“6”的最大数，要求每个“6”都正好与6个地雷相邻	$a n = (a n - 1 + (n - 1) 2) / / 4 n$	0，0，0，0，0，1，1，2，2，3，3
A213685	最小尺寸的最大反链	$a n = (3 n - 2) / / 2 + a n - 4 + n$	1，3，6，9，12，17，22，28，33
A229803	三角形六边形单元格棋盘上的车图HR（n）的支配数，车可以沿着相邻单元格的任何一行移动	$a n = (6 n + 9) / / 13$	1，1，2，2，3，3，3，4，4，5，5
A157795	与有关密度Hales-Jewett定理的超乐观猜想有关	$a n = n + (n 2 + 1 - n % 5) / / 6$	1，2，4，6，9，12，15，18，22

表9 新发现的OEIS数列公式

Tab. 9 Newly discovered OEIS sequence formulas

OEIS序号	数列描述	本文发现的新公式	数列部分项
A134342	某自适应自动机接受的输入组成的数列	$a n = a n - 1 + (a n - 1 + 4) / / 2$	0，2，5，9，15，24，38，59，90
A352178	集合S中含有任意n个不同的整数， $a n$ 是S中2个数之和为2的幂的最大数	$a n = n + (n 2 - 5) / / 19$	0，1，3，4，6，7，9，11，13，15
A302930	在有n个地雷的无限扫雷网格中，可放入“6”的最大数，要求每个“6”都正好与6个地雷相邻	$a n = (a n - 1 + (n - 1) 2) / / 4 n$	0，0，0，0，0，1，1，2，2，3，3
A213685	最小尺寸的最大反链	$a n = (3 n - 2) / / 2 + a n - 4 + n$	1，3，6，9，12，17，22，28，33
A229803	三角形六边形单元格棋盘上的车图HR（n）的支配数，车可以沿着相邻单元格的任何一行移动	$a n = (6 n + 9) / / 13$	1，1，2，2，3，3，3，4，4，5，5
A157795	与有关密度Hales-Jewett定理的超乐观猜想有关	$a n = n + (n 2 + 1 - n % 5) / / 6$	1，2，4，6，9，12，15，18，22

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基于自学习的整数数列符号回归方法

Symbolic regression method for integer sequence based on self-learning

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图/表 14

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