基于高维拟共形映射的三维区域参数化方法

doi:10.11772/j.issn.1001-9081.2024060850

《计算机应用》唯一官方网站 ›› 2025, Vol. 45 ›› Issue (6): 1963-1970.DOI: 10.11772/j.issn.1001-9081.2024060850

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基于高维拟共形映射的三维区域参数化方法

宋媛媛, 潘茂东()

南京航空航天大学数学学院，南京 211106

收稿日期:2024-06-24 修回日期:2024-09-11 接受日期:2024-09-14 发布日期:2024-09-25 出版日期:2025-06-10
通讯作者: 潘茂东
作者简介:宋媛媛（2001—），女，江苏淮安人，硕士研究生，CCF会员，主要研究方向：计算几何与计算机图形学
潘茂东（1990—），男，江苏东台人，副教授，博士，主要研究方向：计算几何与计算机图形学、CAD/CAE一体化、网格生成。maodong@nuaa.edu.cn
基金资助:
国家自然科学基金资助项目(12101308);国家重点研发计划青年科学家项目(2022YFB3302900)

3D domain parameterization method based on high-dimensional quasi-conformal mapping

Yuanyuan SONG, Maodong PAN()

School of Mathematics，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing Jiangsu 211106，China

Received:2024-06-24 Revised:2024-09-11 Accepted:2024-09-14 Online:2024-09-25 Published:2025-06-10
Contact: Maodong PAN
About author:SONG Yuanyuan， born in 2001， M. S. candidate. Her research interests include computational geometry and computer graphics.
PAN Maodong， born in 1990， Ph. D.， associate professor. His research interests include computational geometry and computer graphics， integrated CAD/CAE， mesh generation.
Supported by:
National Natural Science Foundation of China(12101308);National Key Research and Development Program of China for Young Scientists(2022YFB3302900)

摘要/Abstract

摘要：

针对等几何分析中给定边界条件后构造复杂三维（3D）计算域的高质量参数化问题，提出一种基于高维拟共形映射理论的3D区域参数化方法。该方法的核心是建立一个非线性优化模型，同时描述映射的双射性、角度扭曲和体积扭曲。首先，利用高维拟共形映射理论推导出新的衡量3D空间角度扭曲的公式；其次，在优化模型中引入指数变量和体积常数，利用雅各比矩阵的几何意义，实现在保持映射双射性的同时加入体积扭曲的目标；最后，结合交替方向乘子法（ADMM）框架与L-BFGS （Limited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）方法，将原问题分解为易于处理的子问题并交替求解它们。实验结果表明，所提方法在实验模型上保证了全局双射性；相较于ADMM-LRP （ADMM algorithm for Low-Rank Parameterization），所提方法在正交性上提高了约5.8%；相较于TTS （Tet-To-Spline optimization strategy），所提方法在体积一致性上提高了约34.4%。可见，所提方法能获得高质量的参数化，确保双射性，并减小角度扭曲和体积扭曲。

关键词: 等几何分析, 体参数化, 高维拟共形映射, 双射性, 角度扭曲, 体积扭曲

Abstract:

Aiming at the high-quality parameterization problem of constructing a complex Three-Dimensional （3D） computational domain with given boundary conditions in isogeometric analysis， a 3D domain parameterization method based on high-dimensional quasi-conformal mapping was proposed. The core of the proposed method is to establish a nonlinear optimization model that describe the bijectivity， angular distortion， and volume distortion of the mapping simultaneously. Firstly， the high-dimensional quasi-conformal mapping theory was used to derive a new formula for measuring angular distortion in 3D space. Then， exponential variable and volume constant were introduced into the optimization model， and geometrical meaning of the Jacobi matrix was exploited to achieve the goal of adding volume distortion while preserving mapping bijectivity. Finally， Alternating Direction Method of Multipliers （ADMM） framework was combined with L-BFGS （Limited-memory Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno） method to decompose the original problem into tractable subproblems and they were solved alternatively. Experimental results show that the proposed method guarantees global bijectivity on the experimental model； the proposed method has the orthogonality increased by about 5.8% compared to ADMM-LRP （ADMM algorithm for Low-Rank Parameterization）， and has the volume uniformity improved by about 34.4% compared to TTS （Tet-To-Spline optimization strategy）. It can be seen that the proposed method achieves high-quality parameterization， ensures bijectivity of mapping， and reduces angular distortion as well as and volume distortion.

Key words: isogeometric analysis, volumetric parameterization, high-dimensional quasi-conformal mapping, bijectivity, angular distortion, volume distortion

中图分类号:

TP391.41

宋媛媛, 潘茂东. 基于高维拟共形映射的三维区域参数化方法[J]. 计算机应用, 2025, 45(6): 1963-1970.

Yuanyuan SONG, Maodong PAN. 3D domain parameterization method based on high-dimensional quasi-conformal mapping[J]. Journal of Computer Applications, 2025, 45(6): 1963-1970.

图/表 11

图1 映射G:Ω^?:=?[0,1]3?→?Ω???R3

Fig.1 Mapping?G:Ω^?:=?[0,1]3?→?Ω???R3

图2 2D与3D空间里的拟共形映射几何含义

Fig. 2 Quasi-conformal mapping’s geometrical meanings in 2D and 3D space

图3 5个给定边界曲面条件的计算域模型

Fig. 3 Five computational domain models with given boundary surface conditions

表1 不同模型的参数α1和α2取值

Tab.1 Values of parameter α1 and α2 for different models

模型	$α 1$	$α 2$
普朗克	0.85	1.00
鸭子	0.85	1.00
考拉	0.90	0.95
海豚	1.00	0.95
雕像	1.00	0.90

表1 不同模型的参数α1和α2取值

Tab.1 Values of parameter α1 and α2 for different models

模型	$α 1$	$α 2$
普朗克	0.85	1.00
鸭子	0.85	1.00
考拉	0.90	0.95
海豚	1.00	0.95
雕像	1.00	0.90

图4 不同计算域模型的参数化结果（部分网格截面）

Fig. 4 Parameterization results of different computational domain models （some mesh sections）

表2 不同模型的双射性与体积一致性

Tab.2 Bijectivity and volume uniformity of different models

模型	方法	是否双射	体积一致性 $V u n i f$ （最佳情况下 $V u n i f = 0$ ）
模型	方法	是否双射	max	min	avg	方差
普朗克	本文方法	是	1.675 6	0.034 6	0.969 6	0.169 8
	$d e t J = e θ$	是	4.147 2	0.867 4	0.991 7	0.762 5
	$d e t J = c$	是	1.243 6	0.804 3	0.985 8	0.201 0
鸭子	本文方法	是	2.711 3	0.000 7	0.276 4	0.313 1
	$d e t J = e θ$	是	6.355 1	0.026 0	0.301 5	0.447 2
	$d e t J = c$	否
考拉	本文方法	是	0.923 3	0.001 4	0.211 8	0.082 3
	$d e t J = e θ$	是	0.990 2	0.016 9	0.401 6	0.107 3
	$d e t J = c$	否
海豚	本文方法	是	0.997 9	0.002 4	0.306 5	0.171 3
	$d e t J = e θ$	是	1.003 5	0.018 6	0.312 8	0.210 9
	$d e t J = c$	是	0.772 1	0.014 8	0.327 0	0.092 0
雕像	本文方法	是	0.999 1	0.000 7	0.200 9	0.122 8
	$d e t J = e θ$	是	2.444 5	0.010 3	0.145 6	0.273 1
	$d e t J = c$	否

表2 不同模型的双射性与体积一致性

Tab.2 Bijectivity and volume uniformity of different models

模型	方法	是否双射	体积一致性 $V u n i f$ （最佳情况下 $V u n i f = 0$ ）
模型	方法	是否双射	max	min	avg	方差
普朗克	本文方法	是	1.675 6	0.034 6	0.969 6	0.169 8
	$d e t J = e θ$	是	4.147 2	0.867 4	0.991 7	0.762 5
	$d e t J = c$	是	1.243 6	0.804 3	0.985 8	0.201 0
鸭子	本文方法	是	2.711 3	0.000 7	0.276 4	0.313 1
	$d e t J = e θ$	是	6.355 1	0.026 0	0.301 5	0.447 2
	$d e t J = c$	否
考拉	本文方法	是	0.923 3	0.001 4	0.211 8	0.082 3
	$d e t J = e θ$	是	0.990 2	0.016 9	0.401 6	0.107 3
	$d e t J = c$	否
海豚	本文方法	是	0.997 9	0.002 4	0.306 5	0.171 3
	$d e t J = e θ$	是	1.003 5	0.018 6	0.312 8	0.210 9
	$d e t J = c$	是	0.772 1	0.014 8	0.327 0	0.092 0
雕像	本文方法	是	0.999 1	0.000 7	0.200 9	0.122 8
	$d e t J = e θ$	是	2.444 5	0.010 3	0.145 6	0.273 1
	$d e t J = c$	否

表3 不同模型的双射性与正交性

Tab.3 Bijectivity and orthogonality of different models

模型	方法	是否双射	正交性 $G o r t h$ （最佳情况下 $G o r t h = 1$ ）
模型	方法	是否双射	max	min	avg
普朗克	本文方法	是	0.992 6	0.001 7	0.669 7
	调和映射	否	0.986 9	0.000 0	0.666 8
	ADMM-LRP	是	0.986 3	0.072 1	0.655 3
鸭子	本文方法	是	0.977 7	0.010 6	0.551 6
	调和映射	否	0.988 9	0.000 3	0.540 1
	ADMM-LRP	是	0.973 4	0.006 0	0.498 6
考拉	本文方法	是	0.989 2	0.008 8	0.422 1
	调和映射	否	0.970 3	0.000 2	0.421 8
	TTS	是	0.980 8	0.006 5	0.393 9
海豚	本文方法	是	0.578 7	0.001 3	0.055 3
	调和映射	否	0.415 3	0.000 0	0.059 6
	TTS	是	0.397 2	0.001 2	0.052 3
雕像	本文方法	是	0.856 0	0.004 3	0.162 9
	调和映射	否	0.954 5	0.000 1	0.353 3
	TTS	是	0.913 8	0.009 3	0.185 8

表3 不同模型的双射性与正交性

Tab.3 Bijectivity and orthogonality of different models

模型	方法	是否双射	正交性 $G o r t h$ （最佳情况下 $G o r t h = 1$ ）
模型	方法	是否双射	max	min	avg
普朗克	本文方法	是	0.992 6	0.001 7	0.669 7
	调和映射	否	0.986 9	0.000 0	0.666 8
	ADMM-LRP	是	0.986 3	0.072 1	0.655 3
鸭子	本文方法	是	0.977 7	0.010 6	0.551 6
	调和映射	否	0.988 9	0.000 3	0.540 1
	ADMM-LRP	是	0.973 4	0.006 0	0.498 6
考拉	本文方法	是	0.989 2	0.008 8	0.422 1
	调和映射	否	0.970 3	0.000 2	0.421 8
	TTS	是	0.980 8	0.006 5	0.393 9
海豚	本文方法	是	0.578 7	0.001 3	0.055 3
	调和映射	否	0.415 3	0.000 0	0.059 6
	TTS	是	0.397 2	0.001 2	0.052 3
雕像	本文方法	是	0.856 0	0.004 3	0.162 9
	调和映射	否	0.954 5	0.000 1	0.353 3
	TTS	是	0.913 8	0.009 3	0.185 8

图5 ADMM-LRP与本文方法的Gorth热力图与Vunif条状分布图的对比

Fig. 5 Comparison of ADMM-LRP and proposed method on Gorth heatmap and Vunif bar distribution chart

表4 不同模型的体积一致性

Tab.4 Volume uniformity of different models

模型	方法	体积一致性 $V u n i f$ （最佳情况下 $V u n i f = 0$ ）
模型	方法	max	min	avg	方差
普朗克	本文方法	1.675 6	0.034 6	0.969 6	0.169 8
	调和映射	2.329 1	0.018 5	0.972 9	0.218 8
	ADMM-LRP	4.719 7	0.047 8	1.000 2	0.174 0
鸭子	本文方法	2.711 3	0.000 7	0.276 4	0.313 1
	调和映射	12.625 4	0.003 4	0.509 3	0.589 5
	ADMM-LRP	19.491 5	0.003 2	0.555 1	0.738 9
考拉	本文方法	0.923 3	0.001 4	0.211 8	0.082 3
	调和映射	14.342 0	0.004 9	0.515 2	0.653 9
	TTS	8.806 1	0.002 2	0.376 5	0.384 5
海豚	本文方法	0.997 9	0.002 4	0.306 5	0.171 3
	调和映射	1.643 6	0.003 9	0.470 2	0.314 1
	TTS	1.330 2	0.004 1	0.336 2	0.177 0
雕像	本文方法	0.999 1	0.000 7	0.200 9	0.122 8
	调和映射	5.872 0	0.056 5	2.335 7	0.692 2
	TTS	6.264 3	0.006 0	0.383 1	0.296 1

表4 不同模型的体积一致性

Tab.4 Volume uniformity of different models

模型	方法	体积一致性 $V u n i f$ （最佳情况下 $V u n i f = 0$ ）
模型	方法	max	min	avg	方差
普朗克	本文方法	1.675 6	0.034 6	0.969 6	0.169 8
	调和映射	2.329 1	0.018 5	0.972 9	0.218 8
	ADMM-LRP	4.719 7	0.047 8	1.000 2	0.174 0
鸭子	本文方法	2.711 3	0.000 7	0.276 4	0.313 1
	调和映射	12.625 4	0.003 4	0.509 3	0.589 5
	ADMM-LRP	19.491 5	0.003 2	0.555 1	0.738 9
考拉	本文方法	0.923 3	0.001 4	0.211 8	0.082 3
	调和映射	14.342 0	0.004 9	0.515 2	0.653 9
	TTS	8.806 1	0.002 2	0.376 5	0.384 5
海豚	本文方法	0.997 9	0.002 4	0.306 5	0.171 3
	调和映射	1.643 6	0.003 9	0.470 2	0.314 1
	TTS	1.330 2	0.004 1	0.336 2	0.177 0
雕像	本文方法	0.999 1	0.000 7	0.200 9	0.122 8
	调和映射	5.872 0	0.056 5	2.335 7	0.692 2
	TTS	6.264 3	0.006 0	0.383 1	0.296 1

图6 TTS与本文方法的Gorth热力图与Vunif条状分布图的对比

Fig. 6 Comparison of TTS and proposed method on Gorth heatmap and Vunif bar distribution chart

表5 迭代次数与计算时间比较

Tab.5 Comparison of iterations and computation time

模型	本文方法迭代次数	计算时间/min
模型	本文方法迭代次数	本文方法	调和映射	ADMM-LRP	TTS
普朗克	100	36.48	0.06	21.76	32.95
鸭子	46	5.72	0.03	6.62	21.90
考拉	68	20.39	0.09	33.05	23.44
海豚	100	43.53	0.12	29.83	40.52
雕像	83	32.41	0.09	45.25	26.30

参考文献 25

1	HUGHES T J R， COTTRELL J A， BAZILEVS Y. Isogeometric analysis： CAD， finite elements， NURBS， exact geometry and mesh refinement［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2005， 194（39/40/41）： 4135-4195.
2	吴紫俊，黄正东，左兵权，等. 等几何分析研究概述［J］. 机械工程学报， 2015， 51（5）： 114-129.
	WU Z J， HUANG Z D， ZUO B Q， et al. Perspectives on isogeometric analysis［J］. Journal of Mechanical Engineering， 2015， 51（5）： 114-129.
3	COHEN E， MARTIN T， KIRBY R M， et al. Analysis-aware modeling： understanding quality considerations in modeling for isogeometric analysis ［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2010， 199（5/6/7/8）：334-356.
4	PILGERSTORFER E， JÜTTLER B. Bounding the influence of domain parameterization and knot spacing on numerical stability in isogeometric analysis ［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2014， 268：589-613.
5	NIAN X， CHEN F. Planar domain parameterization for isogeometric analysis based on Teichmüller mapping ［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2016， 311： 41-55.
6	FARIN G， HANSFORD D. Discrete Coons patches ［J］. Computer Aided Geometric Design， 1999， 16（7）：691-700.
7	XU G， MOURRAIN B， DUVIGNEAU R， et al. Constructing analysis-suitable parameterization of computational domain from CAD boundary by variational harmonic method［J］. Journal of Computational Physics， 2013， 252：275-289.
8	PAN M， CHEN F， TONG W. Volumetric spline parameterization for isogeometric analysis［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2020， 359： No.112769.
9	XU G， MOURRAIN B， DUVIGNEAU R， et al. Analysis-suitable volume parameterization of multi-block computational domain in isogeometric applications［J］. Computer-Aided Design， 2013， 45（2）：395-404.
10	JI Y， WANG M Y， PAN M D， et al. Penalty function-based volumetric parameterization method for isogeometric analysis ［J］. Computer Aided Geometric Design， 2022， 94： No.102081.
11	孙钊，刘浩，柴双明，等. 面向等几何分析的低扭曲B样条体参数化［J］. 计算机辅助设计与图形学学报， 2023， 35（8）： 1175-1183.
	SUN Z， LIU H， CHAI S M， et al. Computing low-distortion B-spline volumetric domain parameterizations for IGA［J］. Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics， 2023， 35（8）： 1175-1183.
12	PAN M， CHEN F. Low-rank parameterization of volumetric domains for isogeometric analysis［J］. Computer-Aided Design， 2019， 114：82-90.
13	ESCOBAR J M， CASCÓN J M， RODRÍGUEZ E， et al. A new approach to solid modeling with trivariate T-splines based on mesh optimization［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2011， 200（45/46）：3210-3222.
14	CHAN C L， ANITESCU C， RABCZUK T. Volumetric parametrization from a level set boundary representation with PHT-splines ［J］. Computer-Aided Design， 2017， 82：29-41.
15	ZHENG Y， CHEN F. Volumetric parameterization with truncated hierarchical B-splines for isogeometric analysis［J］. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering， 2022， 401（Pt B）： No.115662.
16	FALINI A， ŠPEH J， JÜTTLER B. Planar domain parameterization with THB-splines［J］. Computer Aided Geometric Design， 2015， 35/36：95-108.
17	BERS L. Quasiconformal mappings， with applications to differential equations， function theory and topology ［J］. Bulletin of the American Mathematical Society， 1977， 83（6）： 1083-1100.
18	PAN M， CHEN F. Constructing planar domain parameterization with HB-splines via quasi-conformal mapping［J］. Computer Aided Geometric Design， 2022， 97： No.102133.
19	刘浩洋，户将，李勇锋，等. 最优化：建模、算法与理论［M］. 北京：高等教育出版社， 2020： 248-251.
	LIU H Y， HU J， LI Y F， et al. Optimization： modeling， algorithm and theory ［M］. Beijing： Higher Education Press， 2020： 248-251.
20	施法中. 计算机辅助几何设计与非均匀有理B样条（修订版）［M］. 北京：高等教育出版社， 2013： 219-220.
	SHI F Z. Computer aided geometric design and non-uniform rational B-spline （revision）［M］. Beijing： Higher Education Press， 2013： 219-220.
21	HEINONEN J. What is a quasiconformal mapping［J］. Notices of the AMS， 2006， 53（11）：1334-1335.
22	MARTIN G J. The theory of quasiconformal mappings in higher dimensions， I［EB/OL］. ［2024-09-01］. .
23	KOSKELA P. Lectures on quasiconformal and quasisymmetric mappings［EB/OL］. ［2024-09-01］..
24	LIU H， YANG Y， LIU Y， et al. Simultaneous interior and boundary optimization of volumetric domain parameterizations for IGA［J］. Computer Aided Geometric Design， 2020， 79： No.101853.
25	ZHANG J， PENG Y， OUYANG W， et al. Accelerating ADMM for efficient simulation and optimization［J］. ACM Transaction on Graphics， 2019， 38（6）： No.163.

[1]	余松森何皇薛国鹏崔恒拓. 基于改进FENet的瓷砖色差量化分级方法[J]. 《计算机应用》唯一官方网站, 0, (): 0-0.
[2]	白翔李巨川王慧民景超钮键张兴忠程永强. 基于改进Swin Transformer的电力图像检索方法[J]. 《计算机应用》唯一官方网站, 0, (): 0-0.
[3]	樊跃波陈明轩汤显高永彬李文超. 基于多维频域特征融合的人物交互检测[J]. 《计算机应用》唯一官方网站, 0, (): 0-0.
[4]	喇孝伟胡立华胡建华姚晓玲王欣波. 融合位置编码和重叠掩模的低重叠点云配准网络[J]. 《计算机应用》唯一官方网站, 0, (): 0-0.
[5]	薛苏玲何金旭魏文洁何荧荧娄路. 基于动态占用表格的快速隐式神经表面重建[J]. 《计算机应用》唯一官方网站, 0, (): 0-0.
[6]	李慧, 贾炳志, 王晨曦, 董子宇, 李纪龙, 仲兆满, 陈艳艳. 基于Swin Transformer的生成对抗网络水下图像增强模型[J]. 《计算机应用》唯一官方网站, 2025, 45(5): 1439-1446.
[7]	王文鹏, 秦寅畅, 师文轩. 工业缺陷检测无监督深度学习方法综述[J]. 《计算机应用》唯一官方网站, 2025, 45(5): 1658-1670.
[8]	张军燕, 赵一鸣, 林兵, 吴允平. 基于多级视觉与图文动态交互的图像中文描述方法[J]. 《计算机应用》唯一官方网站, 2025, 45(5): 1520-1527.
[9]	刘晓霞况立群王松焦世超韩慧妍熊风光. 多尺度时空解耦的骨架行为识别对比学习[J]. 《计算机应用》唯一官方网站, 0, (): 0-0.
[10]	赵子杰王毅唐瑞卿杨晨李娟. 基于改进YOLOv11的无人机目标检测算法[J]. 《计算机应用》唯一官方网站, 0, (): 0-0.
[11]	曹正杰丁玲王光伟元帅王书敏. 基于空间与通道协同注意力机制的夜间车辆检测算法[J]. 《计算机应用》唯一官方网站, 0, (): 0-0.
[12]	郭伟王曼婷曲海成. 基于多尺度感知的多维空间融合水下图像增强[J]. 《计算机应用》唯一官方网站, 0, (): 0-0.
[13]	黄舒雯郭柯宇宋翔宇韩锋孙士杰宋焕生. 基于单目图像的多目标三维视觉定位方法[J]. 《计算机应用》唯一官方网站, 0, (): 0-0.
[14]	桑雨贡同赵琛于博文李思漫. 具有光度对齐的域适应夜间目标检测方法[J]. 《计算机应用》唯一官方网站, 0, (): 0-0.
[15]	张四中刘建阳李林峰. 基于X3D的新型轨迹引导感知学习的动作质量评估模型[J]. 《计算机应用》唯一官方网站, 0, (): 0-0.

基于高维拟共形映射的三维区域参数化方法

3D domain parameterization method based on high-dimensional quasi-conformal mapping

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