基于Sobol序列和纵横交叉策略的麻雀搜索算法

doi:10.11772/j.issn.1001-9081.2021010187

《计算机应用》唯一官方网站 ›› 2022, Vol. 42 ›› Issue (1): 36-43.DOI: 10.11772/j.issn.1001-9081.2021010187

基于Sobol序列和纵横交叉策略的麻雀搜索算法

段玉先¹^,²(), 刘昌云¹

^1.空军工程大学防空反导学院，西安 710038
^2.空军工程大学研究生院，西安 710038

收稿日期:2021-02-02 修回日期:2021-05-05 接受日期:2021-05-10 发布日期:2021-05-12 出版日期:2022-01-10
通讯作者: 段玉先
作者简介:段玉先（1992—），男，山东威海人，硕士研究生，主要研究方向：智能优化算法、态势感知
刘昌云（1973—），男，四川泸州人，教授，博士，主要研究方向：智能优化算法、态势感知。
基金资助:
国家自然科学基金资助项目(61703426)

Sparrow search algorithm based on Sobol sequence and crisscross strategy

Yuxian DUAN¹^,²(), Changyun LIU¹

^1.Air and Missile Defense College，Air Force Engineering University，Xi’an Shaanxi 710038，China
^2.Graduate School，Air Force Engineering University，Xi’an Shaanxi 710038，China

Received:2021-02-02 Revised:2021-05-05 Accepted:2021-05-10 Online:2021-05-12 Published:2022-01-10
Contact: Yuxian DUAN
About author:DUAN Yuxian， born in 1992， M. S. candidate. His research interests include intelligent optimization algorithms， situation awareness.
LIU Changyun， born in 1973， Ph. D.， professor. His research interests include intelligent optimization algorithms， situation awareness.
Supported by:
National Natural Science Foundation of China(61703426)

摘要/Abstract

摘要：

针对麻雀搜索算法（SSA）容易陷入局部最优、收敛速度较慢等问题，提出一种基于Sobol序列和纵横交叉策略的麻雀搜索算法（SSASC）。首先，在初始化阶段引入类随机采样方法中的Sobol序列，以增强种群的多样性和遍历性；其次，提出一种指数形式的非线性惯性权重，从而提高算法的收敛效率；最后，应用纵横交叉策略对算法进行改进，即利用横向交叉增强全局搜索能力，利用纵向交叉保持种群的多样性并防止算法陷入局部最优。选取了13个基准函数进行仿真实验，同时使用Wilcoxon秩和检验和Friedman检验评价算法的性能。在与其他元启发式算法的对比实验中，将基准函数从10维扩展到100维，SSASC在平均值和标准差处始终优于其他算法。实验结果表明，该算法在收敛速度和求解准确度方面均取得了一定的优势。

关键词: 麻雀搜索算法, Sobol序列, 惯性权重, 纵横交叉策略, 非线性策略, 基准函数

Abstract:

For the shortcomings of falling into the local optimum easily and slow convergence in Sparrow Search Algorithm （SSA）， a Sparrow Search Algorithm based on Sobol sequence and Crisscross strategy （SSASC） was proposed. Firstly， the Sobol sequence was introduced in the initialization stage to enhance the diversity and ergodicity of the population. Secondly， the nonlinear inertia weight in exponential form was proposed to improve the convergence efficiency of the algorithm. Finally， the crisscross strategy was applied to improve the algorithm. In specific， the horizontal crossover was used to enhance the global search ability， while the vertical crossover was used to maintain the diversity of the population and avoid the algorithm from trapping into the local optimum. Thirteen benchmark functions were selected for simulation experiments， and the performance of the algorithm was evaluated by Wilcoxon rank sum test and Friedman test. In comparison experiments with other metaheuristic algorithms， the mean and standard deviation generated by SSASC are always better than other algorithms when the benchmark functions extending from 10 dimensions to 100 dimensions. Experimental results show that SSASC achieves certain superiority in both convergence speed and solution accuracy.

Key words: Sparrow Search Algorithm (SSA), Sobol sequence, inertia weight, crisscross strategy, nonlinear strategy, benchmark function

中图分类号:

TP301.6

段玉先, 刘昌云. 基于Sobol序列和纵横交叉策略的麻雀搜索算法[J]. 计算机应用, 2022, 42(1): 36-43.

Yuxian DUAN, Changyun LIU. Sparrow search algorithm based on Sobol sequence and crisscross strategy[J]. Journal of Computer Applications, 2022, 42(1): 36-43.

图/表 9

图1 不同方法产生的初始化序列分布

Fig. 1 Distribution of initialized sequences generated by different methods

图2 非线性惯性权重的变化曲线

Fig. 2 Change curve of nonlinear inertia weight

表1 不同算法的参数设置

Tab. 1 Parameter settings of different algorithms

算法	参数	取值
SCA	$a$	2
WOA	$a 1$	（2，0）
	$a 2$	（2，1）
	$b$	1
GWO	$a$	（2，0）
	$A$	$[- a, a]$
	$C$	［0，2］随机值
SSA	发现者数量 $P D$	20%
	警戒者数量 $S D$	10%
	报警阈值 $S T$	0.8
CSSA	发现者数量 $P D$	20%
	警戒者数量 $S D$	10%
	报警阈值 $S T$	0.8

表1 不同算法的参数设置

Tab. 1 Parameter settings of different algorithms

算法	参数	取值
SCA	$a$	2
WOA	$a 1$	（2，0）
	$a 2$	（2，1）
	$b$	1
GWO	$a$	（2，0）
	$A$	$[- a, a]$
	$C$	［0，2］随机值
SSA	发现者数量 $P D$	20%
	警戒者数量 $S D$	10%
	报警阈值 $S T$	0.8
CSSA	发现者数量 $P D$	20%
	警戒者数量 $S D$	10%
	报警阈值 $S T$	0.8

表2 不同算法比较结果（dim=10）

Tab. 2 Comparison results of different algorithms （dim=10）

函数	SCA		GWO		WOA		SSA		CSSA		SSASC
函数	avg	std	avg	std	avg	std	avg	std	avg	std	avg	std
$f 1 (x)$	4.40E-11	1.25E-10	8.73E-57	3.07E-56	5.66E-77	2.96E-76	1.64E-31	8.72E-31	3.31E-13	1.68E-12	0.00E+00	0.00E+00
$f 2 (x)$	2.06E-03	8.10E-03	1.05E-24	4.59E-24	1.37E+02	2.04E+02	2.00E-30	1.10E-29	3.08E-13	1.13E-12	0.00E+00	0.00E+00
$f 3 (x)$	7.48E+00	4.51E-01	6.93E+00	6.20E-01	7.02E+00	6.03E-01	6.74E-07	1.68E-06	4.34E-07	1.23E-06	0.00E+00	0.00E+00
$f 4 (x)$	2.67E-03	2.94E-03	9.49E-04	7.06E-04	2.45E-03	3.09E-03	3.86E-04	3.15E-04	2.62E--04	1.76E-04	0.00E+00	0.00E+00
$f 5 (x)$	-2.14E+03	1.62E+02	-2.65E+03	2.99E+02	-3.21E+03	5.58E+02	-2.61E+03	3.65E+02	-4.24E+03	7.34E+02	-4.19E+03	2.48E-12
$f 6 (x)$	2.19E-02	1.20E-01	7.59E-01	1.71E+00	2.38E+00	9.27E+00	0.00E+00	0.00E+00	5.31E--14	1.43E-13	0.00E+00	0.00E+00
$f 7 (x)$	1.97E-04	1.08E-03	7.52E-15	2.03E-15	3.73E-15	2.54E-15	1.95E-15	5.84E-15	6.84E--08	2.62E-07	8.88E-16	0.00E+00
$f 8 (x)$	6.59E-02	1.26E-01	3.80E-02	6.39E-02	6.51E-02	1.06E-01	0.00E+00	0.00E+00	2.55E-15	9.36E-15	0.00E+00	0.00E+00
$f 9 (x)$	1.03E-01	3.13E-02	5.68E-03	1.00E-02	1.94E-01	9.78E-01	8.88E-09	1.80E-08	2.85E-08	8.18E-08	4.71E-32	1.67E-47
$f 10 (x)$	3.39E-01	1.23E-01	1.67E-02	3.80E-02	3.72E-02	4.70E-02	6.79E-08	9.85E-08	1.58E-07	2.02E-07	1.35E-32	5.57E-48
$f 11 (x)$	1.01E-03	3.47E-04	3.78E-03	7.55E-03	7.10E-04	4.61E-04	3.20E-04	1.33E--05	3.20E-04	1.31E-05	4.23E-04	3.09E-04
$f 12 (x)$	-1.03E+00	7.12E-05	-1.03E+00	2.61E-08	-1.03E+00	1.88E-09	-1.03E+00	1.97E-14	-1.03E+00	1.87E-14	-1.03E+00	6.78E-16
$f 13 (x)$	4.00E-01	3.03E-03	3.98E-01	4.67E-04	3.98E-01	2.34E-05	3.98E-01	1.27E-08	3.98E-01	1.21E-08	3.98E-01	0.00E+00

表2 不同算法比较结果（dim=10）

Tab. 2 Comparison results of different algorithms （dim=10）

函数	SCA		GWO		WOA		SSA		CSSA		SSASC
函数	avg	std	avg	std	avg	std	avg	std	avg	std	avg	std
$f 1 (x)$	4.40E-11	1.25E-10	8.73E-57	3.07E-56	5.66E-77	2.96E-76	1.64E-31	8.72E-31	3.31E-13	1.68E-12	0.00E+00	0.00E+00
$f 2 (x)$	2.06E-03	8.10E-03	1.05E-24	4.59E-24	1.37E+02	2.04E+02	2.00E-30	1.10E-29	3.08E-13	1.13E-12	0.00E+00	0.00E+00
$f 3 (x)$	7.48E+00	4.51E-01	6.93E+00	6.20E-01	7.02E+00	6.03E-01	6.74E-07	1.68E-06	4.34E-07	1.23E-06	0.00E+00	0.00E+00
$f 4 (x)$	2.67E-03	2.94E-03	9.49E-04	7.06E-04	2.45E-03	3.09E-03	3.86E-04	3.15E-04	2.62E--04	1.76E-04	0.00E+00	0.00E+00
$f 5 (x)$	-2.14E+03	1.62E+02	-2.65E+03	2.99E+02	-3.21E+03	5.58E+02	-2.61E+03	3.65E+02	-4.24E+03	7.34E+02	-4.19E+03	2.48E-12
$f 6 (x)$	2.19E-02	1.20E-01	7.59E-01	1.71E+00	2.38E+00	9.27E+00	0.00E+00	0.00E+00	5.31E--14	1.43E-13	0.00E+00	0.00E+00
$f 7 (x)$	1.97E-04	1.08E-03	7.52E-15	2.03E-15	3.73E-15	2.54E-15	1.95E-15	5.84E-15	6.84E--08	2.62E-07	8.88E-16	0.00E+00
$f 8 (x)$	6.59E-02	1.26E-01	3.80E-02	6.39E-02	6.51E-02	1.06E-01	0.00E+00	0.00E+00	2.55E-15	9.36E-15	0.00E+00	0.00E+00
$f 9 (x)$	1.03E-01	3.13E-02	5.68E-03	1.00E-02	1.94E-01	9.78E-01	8.88E-09	1.80E-08	2.85E-08	8.18E-08	4.71E-32	1.67E-47
$f 10 (x)$	3.39E-01	1.23E-01	1.67E-02	3.80E-02	3.72E-02	4.70E-02	6.79E-08	9.85E-08	1.58E-07	2.02E-07	1.35E-32	5.57E-48
$f 11 (x)$	1.01E-03	3.47E-04	3.78E-03	7.55E-03	7.10E-04	4.61E-04	3.20E-04	1.33E--05	3.20E-04	1.31E-05	4.23E-04	3.09E-04
$f 12 (x)$	-1.03E+00	7.12E-05	-1.03E+00	2.61E-08	-1.03E+00	1.88E-09	-1.03E+00	1.97E-14	-1.03E+00	1.87E-14	-1.03E+00	6.78E-16
$f 13 (x)$	4.00E-01	3.03E-03	3.98E-01	4.67E-04	3.98E-01	2.34E-05	3.98E-01	1.27E-08	3.98E-01	1.21E-08	3.98E-01	0.00E+00

表3 不同算法比较结果（dim=30）

Tab. 3 Comparison results of different algorithms （dim=30）

函数	SCA		GWO		WOA		SSA		CSSA		SSASC
函数	avg	std	avg	std	avg	std	avg	std	avg	std	avg	std
$f 1 (x)$	1.49E+01	2.28E+01	1.47E-27	3.24E-27	7.11E-71	3.89E-70	4.99E-34	2.66E-33	3.43E-14	1.22E-13	0.00E+00	0.00E+00
$f 2 (x)$	9.74E+03	6.63E+03	1.52E-05	3.38E-05	4.19E+04	1.28E+04	9.76E-34	5.35E-33	6.61E-11	3.59E-10	0.00E+00	0.00E+00
$f 3 (x)$	1.35E+05	5.57E+05	2.74E+01	8.10E-01	2.80E+01	5.25E-01	1.33E-05	2.90E-05	1.79E-05	2.71E-05	3.13E-06	8.41E-06
$f 4 (x)$	1.08E-01	1.04E-01	1.80E-03	7.38E-04	3.38E-03	3.35E-03	3.83E-04	3.31E-04	2.39E-04	1.47E-04	8.09E-05	5.95E-05
$f 5 (x)$	-3.69E+03	2.06E+02	-5.69E+03	9.91E+02	-1.03E+04	1.80E+03	-5.41E+03	5.00E+02	-8.74E+03	2.23E+03	-1.26E+04	3.40E-10
$f 6 (x)$	4.34E+01	3.16E+01	3.44E+00	4.14E+00	1.89E-15	1.04E-14	0.00E+00	0.00E+00	9.09E-14	4.88E-13	0.00E+00	0.00E+00
$f 7 (x)$	1.32E+01	8.72E+00	9.88E-14	1.71E-14	5.15E-15	2.17E-15	1.01E-15	6.49E-16	4.45E-08	2.43E-07	8.88E-16	0.00E+00
$f 8 (x)$	9.98E-01	6.86E-01	4.07E-03	7.84E-03	3.70E-18	2.03E-17	0.00E+00	0.00E+00	5.07E-16	2.38E-15	0.00E+00	0.00E+00
$f 9 (x)$	3.36E+04	1.44E+05	4.68E-02	2.47E-02	2.70E-02	2.61E-02	1.23E-08	2.61E-08	1.61E-08	3.41E-08	2.35E-20	4.69E-20
$f 10 (x)$	2.97E+04	1.01E+05	6.36E-01	3.09E-01	5.12E-01	2.14E-01	2.16E-07	3.57E-07	3.67E-07	7.52E-07	1.21E-19	3.25E-19

表3 不同算法比较结果（dim=30）

Tab. 3 Comparison results of different algorithms （dim=30）

函数	SCA		GWO		WOA		SSA		CSSA		SSASC
函数	avg	std	avg	std	avg	std	avg	std	avg	std	avg	std
$f 1 (x)$	1.49E+01	2.28E+01	1.47E-27	3.24E-27	7.11E-71	3.89E-70	4.99E-34	2.66E-33	3.43E-14	1.22E-13	0.00E+00	0.00E+00
$f 2 (x)$	9.74E+03	6.63E+03	1.52E-05	3.38E-05	4.19E+04	1.28E+04	9.76E-34	5.35E-33	6.61E-11	3.59E-10	0.00E+00	0.00E+00
$f 3 (x)$	1.35E+05	5.57E+05	2.74E+01	8.10E-01	2.80E+01	5.25E-01	1.33E-05	2.90E-05	1.79E-05	2.71E-05	3.13E-06	8.41E-06
$f 4 (x)$	1.08E-01	1.04E-01	1.80E-03	7.38E-04	3.38E-03	3.35E-03	3.83E-04	3.31E-04	2.39E-04	1.47E-04	8.09E-05	5.95E-05
$f 5 (x)$	-3.69E+03	2.06E+02	-5.69E+03	9.91E+02	-1.03E+04	1.80E+03	-5.41E+03	5.00E+02	-8.74E+03	2.23E+03	-1.26E+04	3.40E-10
$f 6 (x)$	4.34E+01	3.16E+01	3.44E+00	4.14E+00	1.89E-15	1.04E-14	0.00E+00	0.00E+00	9.09E-14	4.88E-13	0.00E+00	0.00E+00
$f 7 (x)$	1.32E+01	8.72E+00	9.88E-14	1.71E-14	5.15E-15	2.17E-15	1.01E-15	6.49E-16	4.45E-08	2.43E-07	8.88E-16	0.00E+00
$f 8 (x)$	9.98E-01	6.86E-01	4.07E-03	7.84E-03	3.70E-18	2.03E-17	0.00E+00	0.00E+00	5.07E-16	2.38E-15	0.00E+00	0.00E+00
$f 9 (x)$	3.36E+04	1.44E+05	4.68E-02	2.47E-02	2.70E-02	2.61E-02	1.23E-08	2.61E-08	1.61E-08	3.41E-08	2.35E-20	4.69E-20
$f 10 (x)$	2.97E+04	1.01E+05	6.36E-01	3.09E-01	5.12E-01	2.14E-01	2.16E-07	3.57E-07	3.67E-07	7.52E-07	1.21E-19	3.25E-19

表4 不同算法比较结果（dim=100）

Tab. 4 Comparison results of different algorithms （dim=100）

函数	SCA		GWO		WOA		SSA		CSSA		SSASC
函数	avg	std	avg	std	avg	std	avg	std	avg	std	avg	std
$f 1 (x)$	1.21E+04	1.04E+04	1.33E-12	1.03E-12	4.75E-72	2.48E-71	2.72E-41	1.49E-40	4.18E-14	1.46E-13	0.00E+00	0.00E+00
$f 2 (x)$	2.58E+05	4.83E+04	7.20E+02	6.76E+02	1.11E+06	2.35E+05	9.58E-37	5.25E-36	4.09E-12	1.81E-11	0.00E+00	0.00E+00
$f 3 (x)$	1.23E+08	4.98E+07	9.80E+01	5.76E-01	9.82E+01	2.15E-01	4.38E-04	1.27E-03	1.38E-04	2.11E-04	7.07E-05	1.14E-04
$f 4 (x)$	1.45E+02	7.39E+01	7.33E-03	2.80E-03	2.94E-03	2.94E-03	3.78E-04	2.63E-04	2.44E-04	2.19E-04	3.66E-05	4.26E-05
$f 5 (x)$	-6.98E+03	5.51E+02	-1.62E+04	1.30E+03	-3.57E+04	5.81E+03	-1.02E+04	2.26E+03	-3.25E+04	7.60E+03	-4.06E+04	2.99E+03
$f 6 (x)$	2.66E+02	1.09E+02	9.47E+00	7.31E+00	0.00E+00	0.00E+00	0.00E+00	0.00E+00	7.58E-15	2.88E-14	0.00E+00	0.00E+00
$f 7 (x)$	1.90E+01	4.16E+00	1.08E-07	4.26E-08	4.91E-15	1.80E-15	8.88E-16	0.00E+00	4.89E-11	1.31E-10	8.88E-16	0.00E+00
$f 8 (x)$	1.07E+02	5.20E+01	2.49E-03	7.97E-03	0.00E+00	0.00E+00	0.00E+00	0.00E+00	1.99E-14	1.06E-13	0.00E+00	0.00E+00
$f 9 (x)$	2.91E+08	1.48E+08	2.88E-01	8.75E-02	5.72E-02	3.98E-02	1.75E-08	2.75E-08	4.91E-09	1.76E-08	1.54E-11	3.36E-11
$f 10 (x)$	5.88E+08	2.81E+08	6.85E+00	4.76E-01	2.93E+00	1.17E+00	7.35E-07	1.73E-06	3.41E-07	6.37E-07	1.40E-09	3.37E-09

表4 不同算法比较结果（dim=100）

Tab. 4 Comparison results of different algorithms （dim=100）

函数	SCA		GWO		WOA		SSA		CSSA		SSASC
函数	avg	std	avg	std	avg	std	avg	std	avg	std	avg	std
$f 1 (x)$	1.21E+04	1.04E+04	1.33E-12	1.03E-12	4.75E-72	2.48E-71	2.72E-41	1.49E-40	4.18E-14	1.46E-13	0.00E+00	0.00E+00
$f 2 (x)$	2.58E+05	4.83E+04	7.20E+02	6.76E+02	1.11E+06	2.35E+05	9.58E-37	5.25E-36	4.09E-12	1.81E-11	0.00E+00	0.00E+00
$f 3 (x)$	1.23E+08	4.98E+07	9.80E+01	5.76E-01	9.82E+01	2.15E-01	4.38E-04	1.27E-03	1.38E-04	2.11E-04	7.07E-05	1.14E-04
$f 4 (x)$	1.45E+02	7.39E+01	7.33E-03	2.80E-03	2.94E-03	2.94E-03	3.78E-04	2.63E-04	2.44E-04	2.19E-04	3.66E-05	4.26E-05
$f 5 (x)$	-6.98E+03	5.51E+02	-1.62E+04	1.30E+03	-3.57E+04	5.81E+03	-1.02E+04	2.26E+03	-3.25E+04	7.60E+03	-4.06E+04	2.99E+03
$f 6 (x)$	2.66E+02	1.09E+02	9.47E+00	7.31E+00	0.00E+00	0.00E+00	0.00E+00	0.00E+00	7.58E-15	2.88E-14	0.00E+00	0.00E+00
$f 7 (x)$	1.90E+01	4.16E+00	1.08E-07	4.26E-08	4.91E-15	1.80E-15	8.88E-16	0.00E+00	4.89E-11	1.31E-10	8.88E-16	0.00E+00
$f 8 (x)$	1.07E+02	5.20E+01	2.49E-03	7.97E-03	0.00E+00	0.00E+00	0.00E+00	0.00E+00	1.99E-14	1.06E-13	0.00E+00	0.00E+00
$f 9 (x)$	2.91E+08	1.48E+08	2.88E-01	8.75E-02	5.72E-02	3.98E-02	1.75E-08	2.75E-08	4.91E-09	1.76E-08	1.54E-11	3.36E-11
$f 10 (x)$	5.88E+08	2.81E+08	6.85E+00	4.76E-01	2.93E+00	1.17E+00	7.35E-07	1.73E-06	3.41E-07	6.37E-07	1.40E-09	3.37E-09

表5 十三个基准函数上的Wilcoxon秩和测试的p值

Tab. 5 p values of Wilcoxon rank sum test on 13 benchmark functions

函数	$p 1$	$p 2$	$p 3$	$p 4$	$p 5$
$f 1 (x)$	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12
$f 2 (x)$	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	5.77E-11	4.57E-12
$f 3 (x)$	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12
$f 4 (x)$	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12
$f 5 (x)$	1.25E-11	1.25E-11	1.25E-11	1.25E-11	3.70E-01
$f 6 (x)$	5.76E-11	1.10E-02	2.16E-02	N/A	4.19E-02
$f 7 (x)$	1.21E-12	2.01E-13	2.65E-07	3.34E-01	1.31E-07
$f 8 (x)$	1.21E-12	1.95E-09	3.13E-04	N/A	4.19E-02
$f 9 (x)$	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12
$f 10 (x)$	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12
$f 11 (x)$	7.12E-09	5.32E-03	4.74E-06	9.71E-01	6.63E-01
$f 12 (x)$	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.77E-12	1.28E-08
$f 13 (x)$	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	2.79E-03	1.61E-01

表5 十三个基准函数上的Wilcoxon秩和测试的p值

Tab. 5 p values of Wilcoxon rank sum test on 13 benchmark functions

函数	$p 1$	$p 2$	$p 3$	$p 4$	$p 5$
$f 1 (x)$	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12
$f 2 (x)$	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	5.77E-11	4.57E-12
$f 3 (x)$	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12
$f 4 (x)$	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12
$f 5 (x)$	1.25E-11	1.25E-11	1.25E-11	1.25E-11	3.70E-01
$f 6 (x)$	5.76E-11	1.10E-02	2.16E-02	N/A	4.19E-02
$f 7 (x)$	1.21E-12	2.01E-13	2.65E-07	3.34E-01	1.31E-07
$f 8 (x)$	1.21E-12	1.95E-09	3.13E-04	N/A	4.19E-02
$f 9 (x)$	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12
$f 10 (x)$	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12
$f 11 (x)$	7.12E-09	5.32E-03	4.74E-06	9.71E-01	6.63E-01
$f 12 (x)$	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	1.77E-12	1.28E-08
$f 13 (x)$	1.21E-12	1.21E-12	1.21E-12	2.79E-03	1.61E-01

表6 十个基准函数上的Friedman检验结果

Tab. 6 Friedman test results on 10 benchmark functions

算法	dim=10		dim=30		dim=100
算法	平均排名	排名	平均排名	排名	平均排名	排名
SCA	5.615 4	6	5.412 9	6	5.841 3	6
GWO	4.230 8	4	4.751 3	5	4.451 5	5
WOA	4.461 5	5	3.586 2	4	3.752 4	4
SSA	2.461 5	2	2.618 4	2	2.551 6	2
CSSA	2.769 2	3	3.239 8	3	2.812 1	3
SSASC	1.230 8	1	1.117 5	1	1.351 2	1

图3 8个不同函数的收敛曲线

Fig. 3 Convergence curves of 8 different functions

参考文献 26

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基于Sobol序列和纵横交叉策略的麻雀搜索算法

Sparrow search algorithm based on Sobol sequence and crisscross strategy

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参考文献 26

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